Методика работы над составной задачей
6.1. Знакомство с составной задачей
В литературе известны два разных подхода к введению составной задачи:
1. Традиционный (Моро, Пышкало, Пчелко, Бантова). Авторы предлагают первую составную задачу рассматривать такую, чтобы в ней было два данных. Например: в одной коробке 6 карандашей, а в другой на 2 меньше. Сколько всего карандашей в двух коробках. В состав этой задачи входят:
а) Задача на увеличение/уменьшение на несколько единиц;
б) Задача на нахождение суммы.
2. Подход Н.Б. Истоминой. Задача, в которой дано 3 данных. Например, в автобусе ехало 5 пассажиров, на первой остановке вошли 2 пассажира, на второй еще 3. Сколько пассажиров стало всего после второй остановки?
У обоих подходов есть достоинства и недостатки. Первый способ предполагает, что дети не выбирают данные, они у них уже имеются (2 данных). Такие задачи дети уже решали (с двумя вопросами), но только первый вопрос убран. Учитель спрашивает у детей, какой вопрос пропустили (сколько во второй коробке?). Сторонники второго подхода говорят, что задача, решение которой соответствует сюжету, легче воспринимается детьми. Трудность в том, что из трех данных надо выбрать два.
Недостатки первого подхода в том, что дети часто решают задачу в одно действие, а про второе забывают, не соотносят ответ с вопросом задачи.
Любая задача имеет несколько этапов решения. Рассмотрим их подробнее на конкретном примере. В приведенной ниже таблице в левом столбике указаны обобщенные действия по решению любой задачи, в правом – эти же действия, но конкретизированные для задачи: «Три конверта стоят 6 рублей. Сколько стоит 5 таких конвертов?»
Предварительно отметим, что приводится пример полного разбора задачи. Он целесообразен в том случае, если ученики слабо владеют умением решать задачи, либо знакомятся с новым для них видом задачи. В дальнейшем учитель по своему усмотрению в соответствии со степенью сформированности умения решать задачи может увеличить долю самостоятельности учащихся, опуская те или иные вопросы, а на этапе анализа содержания задачи вместо поэлементного анализа, приведенного в таблице, предложить детям провести другие виды анализа, например, комплексный анализ.
6.2.Этапы решения составной задачи
/. Анализ содержания |
|||||||||
1. Выделение условия и вопроса.
|
- Прочитайте только условие задачи. - Прочитайте только вопрос задачи. |
||||||||
2. Выделение величин данной задачи.
|
Цена
Количество
Стоимость
одинаковая
3 к
6 р.
5 к.
? |
||||||||
3. Выделение числовых характеристик величин и количественных отношений между ними. |
- Что известно о цене? - А что значит «таких же конвертов»? (У них одинаковая цена). - Что известно о количестве конвертов? - Что известно о стоимости? Результатом этого этапа является краткая запись. Она часто необходима для поиска пути решения задачи. |
||||||||
//. Поиск пути решения. |
|||||||||
1 способ - синтетический (от данных к вопросу).
Данные задачи
Синтетический путь зависит от того, какие данные мы выбираем. Ключевой вопрос: «Зная… и …, что мы можем найти?» Сколько действий содержит задача, столько и ключевых вопросов. |
- Что такое 3,6? (Учитель должен показать в краткой записи на это число, чтобы на ней искать пути решения.) • 3 - это количество; • 6 - это стоимость. - Зная количество и стоимость, что мы можем найти? • цену - Каким действием? Вычленяется простая задача и ставится к ней вопрос). Мы стоимость 6 р. разделим на количество 3к. и получим цену. - Узнав цену одного конверта и, зная, что во второй раз их было 5, что мы можем найти? • Стоимость. • Каким действием? • Цену, которую мы узнали, умножим на количество. Часто на доске, на карточках- помощниках записывают: 1) 6:3=Д (р.) - цена 2) Л- 5=О (р.) - стоимость |
||||||||
2 способ - аналитический (от вопроса к данным). Вопрос расчленяем на два маленьких вопроса. Дети строят «дерево рассуждений». Искомое задачи
Данные задачи
Ц
|
(напомним, что первый этап завершен вопросом: «Что нужно найти в задаче?») - Что для этого надо знать? - Цену и количество - Если бы мы это знали, то каким действиям нашли бы стоимость? - Что из этого нам известно, а что нужно найти? - Количество знаем, а цену надо найти. - Что для этого нужно знать? - Количество и стоимость. - Что из этого мы знаем? - Стоимость - 6 р., количество - 3 к.
|
||||||||
Существует 3 способ - комбинированный, (и анализ, и синтез). |
|
||||||||
Составление плана решения (подведение итога поиска пути решения).
|
- Во сколько действий задача? - В два. - Какое первое действие? А какое второе? - Первое действие деление, второе умножение. |
||||||||
III . Осуществление плана решения задачи |
|||||||||
На этом этапе оформляется решение задачи. Существуют разные формы записи решения задачи. Их следует отличать от способов решения задачи: разные способы решения – это нахождение разных связей между данными и искомым задачи, следовательно, разный порядок действий при решении задачи арифметическим способом. Возможны следующие формы записи решения: а) по действиям с пояснением
б) по действиям без пояснений
в) по вопросам
г) выражением
д) с помощью уравнения |
Ответ. 10 р. стоимость 5 конвертов. 1)6:3=2(р.), 2)2∙5=10 (р.). Ответ. 10 р. стоимость 5 конвертов.
6:3=2(р.) 2) Какова стоимость 5 конвертов? 2∙5=10 (р.) Ответ. 10 р. (6:3) ∙ 5=10(р.) Ответ. 10 р. стоимость 5 конвертов. х:5=6:3, х=(6:3) ∙ 5, х=10 (р.) Ответ. 10 р. стоимость 5 конвертов.
|
||||||||
IV. Исследование решения задачи |
|||||||||
Проверка решения (4 способа). Соотнесение ответа с вопросом задачи. 4 способа проверки решения. 1. Прикидка ответа (установление границ ответа). Этот способ неточный, является действенным только в том случае, если полученный ответ сильно отличается от реального. Прикидка выполняется до решения задачи. 2. Составление и решение обратной задачи. Если получили такое же данное, как в прямой задаче, то задачу решили верно.
3. Решение задачи другим способом. Если получили такой же ответ, то задачу решили верно.
4. Соотнесение полученного результата с данными задачи. Наиболее употребимы 1 и 3 способы, 2 - только к простым задачам (по традиционной методике). Работа по исследованию решения задачи (творческие виды работ с задачей). 1. Преобразование задачи.
2. Исследование зависимости решения от данных задачи
3. Составление аналогичной задачи а) по выражению, б) по «дереву рассуждений», в) по буквенному выражению, г) по краткой записи
|
Прикидка ответа: в рассматриваемой задаче ответ должен быть больше 6, т.к. во второй раз купили больше конвертов, но не более 12, т.е. от 6 до 12.
Обратная задача. 5 конвертов стоят 10 рублей. Сколько стоят 3 таких конверта? Ее решение: (10:5) ∙3=6(р.) Получили значение 6 рублей, которое совпадает с данным прямой задачи, значит, задачу решили верно. (Можно составить и решить другую обратную задачу). В начальном курсе математики рассматриваемая нами задача решается только одним способом в силу того, что учащиеся на этом этапе не умеют выполнять деление на множестве рациональных чисел (5:3). Если бы были подобраны числовые данные, из которых бы одно делилось нацело на другое, то задачу можно было бы решить, используя прямую пропорциональную зависимость между количеством и стоимостью при постоянной цене (во сколько раз больше купили конвертов, во столько раз больше заплатили).
а) Изменить условие задачи так, чтобы она решалась двумя способами. б) Преобразовать задачу так, чтобы была такая же задача, но с другими величинами, например, скорость - время - расстояние. Сделать вывод о способе решения задачи (решение аналогичное, т.к. структура задачи та же самая). в) Поставить другой вопрос к задаче. Например, сколько всего денег заплатили? а) Как изменится ответ задачи, если стоимость 6 рублей увеличить в 2 раза? б) Как можно изменить данные задачи, чтобы ответ увеличился в 3 раза? а) Составьте похожую задачу по выражению 12:4∙8; б) Составьте задачу по «дереву рассуждений»: в) Составьте похожую задачу по выражению a:b∙с; г) Составьте похожую задачу по краткой записи:
|
||||||||
Искомое
задачи
елесообразно
и удобно зафиксировать
«дерево рассуждений» в тетради, т.к.
оно
помогает рассуждать ребенку
при решении других задач, например,
при работе над домашним заданием.
Синтетический способ более простой,
доступный для детей, однако, простор
для творческой деятельности детей
мал, учитель «ведет» за собой детей
при рассуждении. Аналитический
способ более сложен, но дает простор
для творческой деятельности.
Пример разбора задачи. В одном классе 29 человек, в другом – на 3 человека меньше, чем в первом, а в третьем на 2 человека меньше, чем во втором. Сколько человек в третьем классе?
I. -29ч.
II. - ? на 3 ч. меньше, чем в I.
III. - ? на 2 ч. меньше, чем во II.
Синтетический способ.
- Что такое 29? Что значит на 3 ч. меньше? Зная, что в I классе 29 человек, а во II классе на 3 человека меньше, что мы можем найти? Как мы можем это найти?
1)29-3=* (ч.)-II
Узнав, сколько человек учится во II классе и, зная, что в III классе на 2 человека меньше, что мы можем узнать? Как?
2)*-2= (ч.)-Ш
- Узнав, сколько во II и III классах, и, зная, сколько в I, что мы можем найти?
3) 29 + * +
Аналитический способ.
- Что нужно найти в задаче?
- Что для этого нужно знать?
- Каким действием можно найти, сколько человек в третьем классе?
- Что нужно знать, чтобы найти, сколько человек во втором классе?
- Каким действием это можно найти?
7. ОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ РАЗНЫМИ
СПОСОБАМИ
7.1.Теоретическая основа возможности решения
задачи разными способами
Разные арифметические способы решения задач различаются разным порядком действий. Кроме арифметического способа существуют алгебраический способ решения (составление и решение уравнения) и практический способ.
Возможность обучения решению задач различными способами вытекает из того, что составная задача содержит разные логические основы условия (можно выделить разные связи между данными в задаче). Некоторые ЛОУ (логическая основа условия) лежат на поверхности, а некоторые скрыты. В составной задаче дается несколько величин. Эти величины связаны попарно какими-либо отношениями. Одна такая пара вместе со своей связью называется ЛОУ.
Скрытые ЛОУ можно обнаружить при выполнении более глубокого анализа. Выявление различных ЛОУ позволяет решать задачи разными способами.
Например, на 1-ой полке 10 книг, на 2-ой в 2 раза больше, чем на 1-ой, а на 3-ей полке в 2 раза больше, чем на 2-ой. Сколько книг на 3-х полках?
Известна величина - 10 книг на 1-ой полке
На 2-ой - в 2 раза больше ЛОУ
На 2-ой полке __ книг
На 3-ей полке - в 2 раза больше ЛОУ
Эти ЛОУ в данной задаче на поверхности.
1)10 ∙2 = 20(кн.)
2)20 ∙ 2 = 40(кн.)
3)20+40+10 = 70(кн.)
2-ой способ скрыт:
I _____ (одна часть)
II __________( 2 раза по столько)
III ____________________ ( 2 раза по 2 части)
1) 1+2+2 ∙ 2 = 7(частей)
2) 7∙10 = 70 (кн.)
Здесь другая ЛОУ- отношение между частями. Измеряли не книгами, а частями, т.е. взяли другую мерку - не книги, а одну часть, нашли количество частей.