2. Классификация задач

В процессе обучения математике решаются задачи разного рода. Их можно разделить на виды по продукту, получаемому в результате решения задачи (Е.И. Лященко³). Если в результате решения задачи получается математический факт (число, геометрическая фигура, способ доказательства и т.п.), то задача называется математической. Математические задачи можно разделить на виды по разным основаниям. Проблеме классификации и систематизации математических задач, рассматриваемых в школьном обучении, посвящено немало работ.

Вплоть до 1939 года для школьных учебников и задачников математики было характерно большое разнообразие представленных там задач, направленных на реализацию цели – научить школьников решать любые (естественно-учебные) задачи, связанные с курсом математики. Но в практике массового обучения этой цели добиться не удалось. Поэтому возникла и закрепилась противоположная точка зрения (Н.С.Попова, А.С.Пчелко и другие), согласно которой в школьной математике следует представить задачи определенных типов, обучение решению которых является одной из целей школьного обучения математике вообще (А.М. Астряб⁴). Однако обучение школьников решению типовых задач не давало нужных результатов.

Большинство из этих попыток в качестве основной цели имели обеспечение наиболее быстрого и легкого решения задач определенных типов и разучивание с учащимися определенных способов решения задач этих типов. На смену попыткам классифицировать школьные математические задачи с точки зрения более успешного (и более легкого для учащихся) обучения их решению пришли попытки создать типологию задач, направленную на выявление самых основных типов задач, характерных для школьного курса математики, и разработку общих методов их решения (М.И.Моро и А.М.Пышкало, Н.Б. Истомина и др.).

Однако для того, чтобы успешно применять математические задачи в качестве средства обучения, учителю следует знать, каковы роль и функции задач определенного типа. Приведем одну из классификаций математических задач, которые изучаются в начальном курсе математики.

В зависимости от того, описывается в задаче жизненная ситуация или нет, математические задачи делятся на сюжетные (текстовые) и бессюжетные. Далее мы будем говорить только о текстовых задачах, для краткости называя их задачами.

Текстовые задачи, в зависимости от того, во сколько действий решаются, бывают простыми и составными. Простые задачи решаются в одно действие, а составные в два и более действий.

Рассмотрим разные классификации простых задач.

В зависимости от структуры М.И. Моро и А.М. Пышкало⁵ выделяют следующие группы простых задач:

Первая группа задач – задачи, направленные на раскрытие конкретного смысла арифметических действий (сложение, вычитание, умножение и деление). Таких задач – 5 видов:

- на нахождение суммы;

- на нахождение остатка;

- на нахождение суммы одинаковых слагаемых;

- на деление по содержанию;

- на деление на равные части.

Вторая группа – задачи, раскрывающие различные отношения между числами. Их 10 видов:

– на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц, прямая форма;

- на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц косвенная форма;

• на увеличение (уменьшение) числа в несколько раз, прямая форма;

• на увеличение (уменьшение) числа в несколько раз, косвенная форма;

• на разностное сравнение;

• на кратное сравнение.

1. Третья группа – задачи, раскрывающие связи между компонентами и результатами арифметических действий. Сюда входят 6 видов простых задач:

• на нахождение неизвестного слагаемого;

• на нахождение неизвестного уменьшаемого;

• на нахождение неизвестного вычитаемого;

• на нахождение неизвестного множителя;

• на нахождение неизвестного делимого.

Целесообразно разделить эти задачи на четыре группы, выделив в отдельную группу задачи на сравнение. Для удобства восприятия эти виды задач расположены в таблице (приводится ниже).

Группы задач	Задачи на ус­воение кон­кретного смысла дейст­вий	Задачи на на­хождение неиз­вестных ком­понентов дей­ствий	Задачи на уве­личение (уменьшение) числа на не­сколько единиц (в несколько раз)	Задачи на сравнение
Действия, с помощью ко­торых реша­ется задача
Задачи на сложение	I п. - 5 кн. ? II п. - 4 кн. (задача на нахожде­ние суммы)	Было – ? Убрали - 4 кн. Осталось - 5 кн. (задача на нахождение неизвестного умень­шаемого по известным вычитаемому и разно­сти)	I полка -14 кн., IIполка -?, на 2 кн.больше (Задача на увеличение числа на несколько единиц, прямая форма) I п. -14 кн., это на 2 кн. меньше II п. - ? (Задача на увеличение числа на несколько единиц, косвенная форма)
Задачи на вычитание	Было - 9 кн, Убрали - 4 кн. Осталось - ? (Задача на нахожде­ние остатка)	Было – 9 кн. Убрали - ? Осталось - 5 кн. (Задача на нахожде­ние неизвестного вы­читаемого по извест­ным уменьшаемому и разности) I п. - 5 кн. ? II п. - 4 кн. (задача на нахождение неизвестного слагае­мого по известным сумме и другому сла­гаемому)	I полка - 14 кн, II полка - ?, на 2 книги меньше ( Задача на уменьшение числа на несколько единиц, прямая форма) I полка - 14 кн., это на 2 книги больше II полка - ? (Задача на уменьшение числа на несколько единиц, косвенная форма)	I п. -14 кн. на ? II п. –28кн (Задача на разностное сравнение)
Задачи на умножение	Сколько колес у трех двухколесных велоси­педов? (Задача на нахожде­ние суммы одинако­вых слагаемых)	Неизвестное число разделили на 5. Полу­чили 3. Найти неиз­вестное число. (Задача на нахожде­ние неизвестного де­лимого по известным делителю и частному)	I полка -14 кн. II полка – ?, в 2 раза больше (Задача на увеличение числа в несколько раз, прямая форма) 1полка - 14 кн., это в 2 раза меньше II полка - ? (Задача на увеличение числа в несколько раз, косвенная форма)
Задачи на деление	15 морковок разде­лили нескольким кро­ликам по 5 мор­ковок. Сколько кроликов получили морковки? (Задача на деление по содержанию) 15 морковок разде­лили 3 кроликам по­ровну. По сколько морковок получил каждый кролик? (За­дача на деление на равные части)	Неизвестное число ум­ножили на 5. Получили 15. Найти неизвест­ное число. (Задача на нахождение неизвестного множи­теля) Число 15 разделили на неизвестное число и получили 3. Найти не­известное число. ( Задача на нахождение неизвестного дели­теля)	1полка -14 кн. II полка - ?, в 2 раза меньше (Задача на уменьшение числа в несколько раз, пря­мая форма) 1полка - 14 кн., это в 2 раза больше II полка - ? (Задача на уменьшение числа в несколько раз, кос­венная форма)	Iп. -14 кн. Во? IIп. –28кн. (Задача на кратное сравнение)

Приведенная классификация удобна, так как позволяет очень точно определить место задачи в системе простых задач. Она позволяет выбирать способ решения задачи в зависимости от ее структуры, то есть, характера взаимосвязи между данными и искомыми задачи и на этой основе строго обосновывать выбор решения.

В течение 1 класса учащихся последовательно и целенаправленно обучают способам решения перечисленных типов задач, не сообщая им название решаемого типа. В каждой задаче определенного типа меняется только ситуация и числовые данные. Работа же над задачей сводится, как правило, к отысканию способа ее решения, записи решения и ответа.

Между тем изучение отдельно каждого вида задач требует запоминания большого числа мелких способов решения, следовательно, сильно возрастает нагрузка на память учащихся и негативно влияет на результаты обучения.

Таким образом, успешность решения задачи зависит от того, усвоил ли учащийся способ решения задач данного типа и умеет ли он распознать их. Однако методисты (А.К.Артемов, Н.Б. Истомина и др.) не рекомендуют нацеливать учащихся на определение вида задачи, так как в этом случае снижается возможность включения школьников в творческую деятельность. Более того, существенно возрастает нагрузка на память, поскольку учащимся приходится запоминать способы решения 21 вида задач вне связи друг с другом. Действительно, в этом случае происходит рассогласование методики обучения с психологической закономерностью процесса усвоения знаний (материал усваивается лучше, если он структурирован). Следовательно, такой подход к обучению решения задач психологически не оправдан.

Другой подход к классификации простых задач осуществлен П.М. Эрдниевым⁶. Все задачи поделены на тройки взаимообратных задач, которые в учебном процессе выступают как укрупненные дидактические единицы. Приведем примеры таких троек.

1) I полка— 4 книги.

II полка — 6кн., на ? больше

2) I полка — ? книг

II полка — 6, это на 2 книги больше

3) I полка — 4 книги

II полка — ?, на 2 книги больше,

Сколько данных в задаче, столько взаимообратных задач можно составить. Напомним, что во взаимообратных задачах описывается одна и та же ситуация (одна и та же логическая основа условия), но искомыми являются разные числовые характеристики или количественные отношения.

В таблице задачи первой и второй, третьей и четвертой колонок являются взаимообратными. Первая тройка взаимообратных задач: одна задача на нахождение суммы; две задачи на нахождение неизвестного слагаемого. Вторая тройка взаимообратных задач: задача на нахождение остатка, задача на нахождение неизвестного уменьшаемого, задача на нахождение неизвестного вычитаемого. Третья тройка - задача на сложение одинаковых слагаемых, задача на деление по содержанию, задача на деление на равные части. Четвертая тройка - на увеличение числа на несколько единиц (прямая форма); на уменьшение числа на несколько единиц (косвенная форма); на разностное сравнение (на сколько больше). Пятая тройка - на уменьшение числа на несколько единиц (прямая форма); на увеличение числа на несколько единиц (косвенная форма); на разностное сравнение (на сколько меньше). Шестая тройка - на увеличение числа в несколько раз (прямая форма); задача на уменьшение числа в несколько раз (косвенная форма); задача на кратное сравнение.

В учебниках Н.Б. Истоминой⁷ прослеживается более крупное деление простых задач на виды:

1. Задачи, в которых дано одно множество, разделенное на части. Требуется найти либо неизвестное целое по известным частям, либо неизвестную часть по известным целому и другой части (задачи первой и второй колонок таблицы).

12

4 ?

2. Задачи, в которых даны два неравномощных множества. В них требуется либо найти разностное или кратное отношение между числовыми характеристиками этих множеств, если они известны, либо числовую характеристику одного из множеств по известной числовой характеристике другого множества и отношению между ними (задачи третьей и четвертой колонок таблицы). Примерная графическая модель таких задач.

Составные задачи строго не классифицируются, однако, выделяются некоторые типы задач: задачи с пропорциональными величинами (по наличию прямой или обратной пропорциональной зависимости между данными задачи); задачи на движение (по сюжету) и др. Позже мы рассмотрим специфику работы над приведенными типами задач.

В литературе известны и другие классификации математических задач. Например, основанием для классификации задач Ю.М.Колягиным⁸ выступает степень знакомства учащихся с общим способом решения задач из заданной совокупности. Он выделяет следующие типы задач (неизвестные компоненты ситуаций обозначены буквами X,Y,K):

1. Обучающие (с одним неизвестным) XCRB, AXRB, ACXB, ACRX.

2. Поисковые (с двумя неизвестными) AXYB, XCRY, XYRВ, ACXY.

3. Проблемные (с тремя неизвестными) XYKB, AXYK, XCYK, XYRK.

Введем основные компоненты задачи, названные Ю.М.Колягиным:

1. Начальное состояние (А) – характеристика проблемности или условие задачи.

2. Конечное состояние (В) – цель задачи.

3. Решение задачи (R) – способ преобразования условия задачи для нахождения требуемого заключением искомого.

4. Базис задачи (С) – обоснование решения или теоретическая основа условия.

Такая классификация позволяет рассмотреть задачи с точки зрения значимости их для интеллектуального развития учащихся.

Анализ традиционных учебников математики, показал, что большинство задач в них – обучающие, то есть задачи первого типа. Поисковыми задачи здесь являются лишь на этапе ознакомления со способом их решения, то есть когда способ решения данного типа задач школьникам не известен. На этапе же закрепления умений решать задачи изучаемого типа, они превращаются в обучающие, так как в них становится неизвестным лишь один какой-либо компонент (либо А, либо В).

Таким образом, различные классификации задач позволяют выделить их разнообразные характеристики, наиболее важной из которых является степень их значимости для развития учащихся. Классификация задач именно по этому признаку дает возможность определить, к какому типу относится рассматриваемая задача, и как ее преобразовать для достижения наибольшего развивающего эффекта.