2.2.3. Характеристики погреінвюстей результатов измерений

2.27. Как конкретно отражаются расчеты статистических погреш­ностей на результатах измерений?

К сожалению, невозможно в каж­дом конкретном случае измерений задавать соответствующую стати­стическую погрешность. Полную информацию содержат лишь функ­ции распределения с указанием чис­ла измерений и, если она не исклю­чена, систематической погрешности Так как получить такую функцию часто не удается, задание погреш­ностей всякий раз представляет со­бой компромисс между желаемой информацией и ее допустимым ми­нимумом.

При этом речь, прежде всего, идет о статистической надежности (достоверности), с какой можно ожидать заданную погрешность. Как было показано выше, при нор­мальном распределении и п -> оо статистическая достоверное ть для границ интервала ±о составляет всего 68,3%. Такая надежность ха­рактерна для измерений в физике. При измерениях в промышленных установках границы доверительного интервала задают равными ± 1,96су, и надежность возрастает до 95%. При производстве многих видов изделий и в биологических исследо­ваниях границы расширяются до ±2,58о, и надежность измерений достигает 99%.

Кроме статистической надеж­ности задают также границы слу­чайных погрешностей. Если речь идет о средней погрешности, то обя­зательно указывают и характер этих границ.

Чтобы при дальнейшем изложе­нии четко отличать погрешности

границ от самих погрешностей, для них вводятся различные символьные обозначения, а именно: для погреш­ностей, согласно выражению (1.7),-е, а для границ погрешностей-8. В качестве границ может указывать­ся среднее квадратическое значение а или его оценка s.

Для результата измерений М = =Дл';) закон распространения по­грешностей согласно выражению (2.54) можно записать следующим образом:

Если в качестве характеристики слу­чайной погрешности используется оценка среднего квадратического значения, то необходимо учитывать, что она является мерой случайной погрешности отдельного измеренно­го значения в выборке. При ее зада­нии указывают оба знака, т. е. х + s, причем эта оценка может быть и от­носительной, т. е.

.s'* --= s/x или (six) • 100 (в %). (2.72)

Ее называют коэффициентом ва­риации. Оценку среднего квадрати-ческого отклонения иногда указы­ваю! в качестве меры рассеяния для небольшого объема выборки.

Часто границы погрешностей оп­ределяют как границы рассеяния и задают равными + Зо либо устанав­ливают интервал допустимых значе­ний между +3ст и —Зет.

Если результатом измерения яв­ляется среднее арифметическое зна­чение выборки, то в качестве харак­теристики его случайной погреш­ности указывают среднюю погреш­ность л\ = s/^/n согласно (2.49).

Если математическая зависи­мость результата имерений не соот­ветствует виду М =f(Xj), то для за­кона распространения погрешности (2.71) задают оценку среднего квад­ратического отклонения. При недо­статочно большом чиле п измере-

ний, когда нарушаются условия ста­тистической достоверности, грани­цы погрешности в выражении (2.49) умножают на соответствующий чис­ленный коэффициент t, взятый из справочной таблицы. Найденные границы

называют доверительными граница­ми погрешности результата измере­ний, а область между —5„ и +8„-доверительной областью или дове­рительным интервалом погреш­ности результата измерений. При наличии неисключенной системати­ческой погрешности 8„ границы по­грешностей по сравнению с выра­жением (2.73) изменяются; они опи­сываются выражением

и именуются недостоверностью из­мерений¹'. Учитывая, что неисклю­ченная систематическая погреш­ность довольно хорошо характери­зуется стохастически, недостовер­ность измерений можно записать в виде выражения

Для задания недостоверности из­мерений требуется определенный опыт, позволяющий при оценивании неустраненной систематической по­грешности получать приемлемые

значения.

Если результат измерений М = =/(-^) представляет собой функцию от г результатов измерений с из-

¹⁾ Отечественным і осу дарственным стан­дартом нормировано понятие предела основ­ной допускаемой погрешности средства из­мерений. Это наибольшее значение погреш­ности средства измерений, устанавливаемое соответствующим нормативно-техническим документом для данного типа средств из­мерений, при котором оно еще признается годным к применению. Фактически пределы -это Гранины зоны, за которую не должна выходить погрешность.- Прим. перев.

вестными недостоверностями 5 у., то результирующую неопределенность вычисляют по формуле

В заключение следует еще раз под­черкнуть, что основное значение ста­тистической достоверности, приня­тое для границ случайной погреш­ности, равно 68,3%. Если принято иное значение, то это специально оговаривается.

2.28. Каким должен быть итоговый результат из­мерений?

Представление итогового резуль­тата измерений зависит от требо­ваний к точности, которая может быть (что весьма условно) низкой, нормальной или высокой (преци­зионной).

Низкая точность характерна для обыденных измерений. Границы по­грешностей в этих случаях равны примерно половине шага между по­следними метками шкалы прибора. Так, например, при необходимости изготовить полку длиной 85 см гра­ницы погрешностей соответствую­щих измерений не должны превы­шать ±0,5 см. Однако если речь идет о сверлении в точной детали отверстия, к примеру, диаметром 6,2 мм, то допустимое отклонение диаметра от заданного значения мо­жет составлять ±0,05 мм. В первую очередь нас будут интересовать тре­бования к нормальной точности из­мерений, характерной для многих областей науки и техники. Для их удовлетворения необходимо выпол­нять нижеперечисленные условия.

1. Каждое отдельное измеренное значение или среднее значение из выборки путем соответствующей коррекции должно быть, насколько

это возможно, освобождено от си­стематической погрешности.

Так как вопросы коррекции по­грешностей подробно рассмотрены в последующем изложении, то здесь мы остановимся только на выборе количества достоверных разрядов (цифр) численного представления измеренного значения величины. Это количество разрядов при нор­мальной точности должно быть согласовано с недостоверностью изме­рений. При таком согласовании можно варьировать выбором соот­ветствующих единиц или использо­вать представление чисел с указа­нием их десятичных порядков. Так, например, указывать высоту полета, допустим, 8000 м нецелесообразно, если недостоверность измерений не должна превышать ± 50 см (что не­достижимо). Обычно погрешность измерений высоты полета состав­ляет порядка 50 м и поэтому целе­сообразно «сжать» число, указав 8 км или 80 •10² м.

Рассмотрим еще один пример. Плотность металлического ша­рика можно определить по формуле

р = 6m/(Jtd³).

Проведено п =- 40 измерений диа­метра d и вычислено _среднее Ариф­метическое значение d = 27,3 мм со средним квадратическим отклоне­нием Sg = 0,3 мм. По формуле (2.73) определяют доверительные границы погрешности результата ±5„ = == 0,048. Неисключенная системати­ческая погрешность |5д| ограничена значением 0,15 мм. Тогда, с учетом вычислений по формуле (2.74), име­ем d = (27,3 ± 0,2) мм. Допустим, что по результатам взвешивания шарика определена его средняя мас­са 83,7 г с недостоверностью 0,3 г, тогда т = (83,7 ± 0,3) г. Плотность р равна 7,86 г/см³, и, согласно фор­муле (2.76), недостоверность плот­ности составляет 0,17 г/см³. При этом количество цифр в значении

плотности после запятой оказывает­ся больше двух, тогда как число цифр после запятой в значении диа­метра равно единице. Таким обра­зом, точность итогового результата, а значит, и количество значимых разрядов в нем, в данном случае определяется точностью оценки диа­метра шарика, которая возрастает с увеличением числа измерений.

2. Скорректированное значение результата измерений должно быть охарактеризовано недостовер­ностью, определяемой по выраже­ниям (2.74) или (2.75). Мерой этой недостоверности может служить та или иная приемлемая числовая ха­рактеристика, например, оценка среднего квадратического отклоне­ния или доверительные границы погрешности результата. Следует подчеркнуть, что хорошая оценка остаточной систематической по­грешности достижима лишь в от­дельных случаях измерений, поэто­му численное представление не­достоверности целесообразно лишь в пределах первых двух значащих цифр. При проведении единичных измерений расчеты статистических погрешностей становятся невозмож­ными, и недостоверность измерений определяют из характеристик по­грешностей средств измерений, ис­пользуемых в этих случаях. Если они не известны, то может быть указан уровень вероятности харак­теристик (2.59) 1 — а = 5,, равный 95%. При этом необходимо учиты­вать, являются ли погрешности постоянными или зависят от зна­чений измеряемых величин.

3. У пользователя результатом измерений не должно возникать со­мнений относительно того, какая статистическая надежность лежит в основе задания недостоверности.

Меру недостоверности всегда ха­рактеризуют уровнем вероятности. Следует обратить внимание на оце­нивание недостоверности измерений

и распространения погрешностей в случаях, когда мерой рассеяния является характеристика, отличная от среднего квадратического откло­нения, что отражает формула (2.76). Для получения приемлемых резуль­татов с помощью последней необ­ходимо, чтобы все суммируемые члены подкоренного выражения этой формулы имели один и тот же уровень вероятности.

4. Для представления итоговых результатов измерений необходимо использовать одно из выражений, приведенных в табл. 2.3, хотя этот перечень и не исчерпывает вс;?х воз­можных вариантов.

Руководящие материалы не со­держат четких указаний о том, какую именно форму представления результатов измерений использо­вать в том или ином конкретном случае. При сравнении результатов целесообразно использовать отно­сительную недостоверность изме­рений.

2.29. Как скорректиро­вать измеренное значение?

Согласно выражению (1.7), дей­ствительное значение х, измеряемой величины определяется алгебраи­ческой суммой измеренного значе­

ния -\-„, и погрешности с, т.е.

К сожалению, с і олії простои подход к определению дсйс -і •вн тельного зна­чения ИЗМерЯСМОЯ КеЛЯЧИНЫ НСОСу-

ществим, так как общая погреш­ность не может быть определена однозначно. Как отмечалось выше, ее случайная состанляюш.ая и неис­ключенная часть систематической составляющей делают результат из­мерений недостоверным, который оценивается вероятностно. Поэтому после исключения систематической составляющей е,. погрешности, под­дающейся определению, можно го­ворить лишь о скорректированном измеренном л\., а не о действитель­ном значении величины, т. е.

где (—(\)- корректирующее значе­ние.

Для примера рассмотрим взве­шивание на 'рычажных равноплечих весах груза массой in и объемом V= 5000 см³, уравновешиваемого гирей массой т,; н объемом vq == = 100 см³ (см. рис. 2.45). При плот­ности воздуха 1,3 кг/м³ груз испы­тывает подъемную силу 0,064 Н, а гиря только 0,0013 Н. Таким обра­зом, уравновешенная масса груза в действительности оказывается

на 6,37 г больше, что и представля­ет собой систематическую погреш­ность, поддающуюся расчету и устраняемую. В условиях вакуума она, естественно, не возникает.

Коррекцию систематических по­грешностей осуществляют аппарат­ными средствами непосредственно в процессе измерений либо програм­мными средствами ЭВМ по пред­варительно составленным таблицам поправок. Причинами системати­ческих погрешностей, как отмеча­лось выше, могут быть, главным образом, воздействия влияющих ве­личин, значения которых должны находиться в допустимых пределах. Чаще всего такой влияющей вели­чиной оказывается температура, причем ее воздействие сказывается не только непосредственно, но и че­рез влияние на другие величины, вы­зывающие погрешности измерений. В итоге паразитному воздействию подвергаются как измеряемая вели­чина, так и параметры средств изме­рений, причем не только непосредст­венно, но и опосредованно, при тем­пературных изменениях параметров окружающей среды.

Когда речь идет о влиянии тем­пературы на измеряемую величину, то необходимо четко представлять себе характер этого влияния. В ряде

случаев это влияние вызывает систе­матическую погрешность, а в случае косвенных измерений температура может быть функционально связана с искомой величиной, и ни о какой температурной погрешности здесь речи быть не может. Например, из­меряется плотность р одной из жид­костей в двухкомпонентной смеси, которая функционально связана с концентрацией этой компоненты с =/(р), причем известно значение с для р при температуре 9 = 20 °С. При измерении в других темпера­турных условиях плотность должна быть пересчитана, т. е. в данном слу­чае изменение температуры не вызы­вает появления систематической по­грешности. Так же следует посту­пать и при измерении объемного расхода жидкости по формуле т == = Vp, когда указанное значение плотности жидкости приводит к действующей температуре вместо за­данной 20°С.

Значения тех или иных величин, функционально зависящих от тем­пературы, можно пересчитывать по соответствующим формулам либо определять по номограммам, по­строенным на основе таких формул пересчета, и действительной темпе­ратуре окружающей среды. Приме­ром подобных номограмм могут

Рис. 2.46. Номограммы для корректировки измеренных значений тока в катушке из мед­ного провода по температуре окружающей среды.

служить номограммы рис. 2.46 для графического определения коррек­ции тока, протекающего через ка­тушку из медного провода при за­данном напряжении. Номинальный ток при температуре 20°С состав­ляет 5,48 А. При повышении темпе­ратуры до 30°С ток /„, падает, на­пример, до 5,2 А, что требует кор­рекции тока /,, на 0,28 А.

В ряде случаев, если позволяют условия, для исключения влияния изменений температуры объект и(или) средство измерений по­мещают в термостат с автомати­ческим поддержанием заданной тем­пературы.