2. Контрольні завдання

Загальні вказівки

При вирішенні задач необхідно вивчити відповідний теоретичний матеріал, заздалегідь розібрати і самому повторити вирішення типових задач в окремих розділах.

При вирішенні задач необхідно дотримувати наступні вимоги:

1) виписувати умови задач повністю, без скорочень;

2) супроводжувати рішення коротким пояснювальним текстом; при застосуванні діаграм приводити графічне зображення рішення і необхідні аналітичні залежності з достатнім поясненням;

3) приводити обчислення в розгорненому вигляді;

4) давати значення фізичних величин в системі СІ;

5) формулювати пояснення по ходу рішення завдань; не допускати скорочень і умовностей в тексті;

6) проводити короткий аналіз отриманих результатів рішення задачі і робити відповідні виводи;

7) виконувати роботу на стандартних листах А-4.

Приклади вирішення задач

А. Рівняння стану ідеального газу

Рівняння Клапейрона:

для 1 кг ідеального газу: ;

для М кг ідеального газу ;

для 1 кмоля ідеального газу ,

де Р ‑ абсолютний тиск газу, Н/м²; v ‑ питомий об'єм газу, м³/кг; V ‑ об'єм газу, м³; V_µ ‑ об'єм 1 кмоля газу, м³; µ ‑ маса 1 кмоля газу, кг; R – газова стала, віднесена до 1 кг газу, Дж/(кгК); Т ‑ абсолютна температура газу, К.

Газова стала, віднесена до 1 кг газу:

, Дж/(кгК);

де 8314 ‑ універсальна газова стала 1 кмоля газу, Дж /(кмоль·К).

Абсолютний тиск газу визначається із наступних співвідношень:

‑ якщо абсолютний тиск більше тиску навколишнього середовища

, Н/м²,

де Р_н ‑ надмірний тиск, вимірюваний манометром, Н/м²;

В ‑ тиск навколишнього середовища, вимірюваний барометром, Н/м²;

‑ якщо абсолютний тиск менше тиску навколишнього середовища

, Н/м²,

де Р_В ‑ розрідження, вимірюване вакуумметром, Н/м².

Приклад 1. Визначте температуру кисню, який знаходиться в резервуарі місткістю V = 10 м³ за умови, що на манометрі Р_н = 7·10⁵ Н/м², барометричний тиск В = 740 мм рт.ст., масса газу М=100 кг.

Рішення. З рівняння Клапейрона для маси М кг газу Т = PV/(MR). Тоді:

Н/м²;

Дж/(кгК);

K.

Б. Теплоємність газів

Теплоємність газів ‑ це кількість теплоти, що потрібна для нагріву (або охолоджування) одиниці кількості речовини на 1ºС. Розрізняють відповідно масову С кДж/(кг·К); об'ємну С' [кДж/(м³·К) ] і молярну µС [кДж/(кмоль·К)] теплоємності.

Залежно від умов нагріву (або охолоджування) розрізняють відповідно ізохорну , , і ізобарну , , теплоємності.

Теплоємність ‑ величина змінна і значення теплоємностей ідеальних газів зростають з підвищенням температури. Тому в розрахунках витрати теплоти для нагріву газу використовується не дійсна, а середня теплоємність в заданому інтервалі температур, наприклад:

де Q_Р ‑ кількість підведеної теплоти до М кг газу при нагріві в інтервалі температур від t₁ і до t₂ при постійному тиску, кДж;

‑ середня масова теплоємність при постійному тиску в інтервалі температур від t₁ до t₂, кДж /(кг К),

де і ‑ середні теплоємності при постійному тиску в інтервалі температур від 0 до t₁ і t₂, визначувані за відповідними таблицями.

В деяких розрахунках, що не вимагають великої точності, можна допустити, що C=const, тобто теплоємність не залежить від температури, тоді масові і об'ємні теплоємності визначають з молярних, залежних тільки від атомності газів. Зв'язок між молярною, масовою і об'ємною теплоємностями представлений таким чином:

,

де ₀ – густина газу за нормальних умов.

Наближені значення молярних теплоємностей при постійному тиску (C=const) наведені в табл. 2.1.

Таблиця 2.1.

Параметр	Газ
	одноатомний	двоатомний	трьох- і багатоатомний
μСv, кДж/(кмоль·К)	12,56	20,93	29,31
μСp, кДж/(кмоль·К)	20,93	29,31	37,68

Приклад 2. Визначте середню відповідно масову С_vm и об’ємну С'_vm теплоємність повітря в процесі V=const в межах температур від t₁=200°С до t₂=500°С, вважаючи, що залежність теплоємності від температури криволінійна.

Рішення

Приклад 3. Визначте кількість теплоти, яку потрібно підвести до резервуару місткістю V₀=3 м³ CO₂ при Р = 7·10 Н/м², для нагріву від температури t₁=200°С до t₂=700°С в процесі Р=const. Теплоємність прийняти постійною.

Рішення (у двох варіантах):

Варіант 1.

З характеристичного рівняння маса газу

де

Варіант 2.

Об'єм газу за нормальних умов з рівняння об'єднаного закону Гей-Люсака і Бойля – Маріота:

де Р, V₀ , Т ‑ задані відповідно тиск, об'єм і температура газу ; Р_н, V_н, Т_н ‑ ті ж параметри за нормальних умов.

Як видно з рішень по обох варіантах, кількості підведеної теплоти приблизно однакові.

В. Газові суміші

Газова суміш ‑ це механічна суміш газів, що не вступають в хімічні реакції між собою. Вона може бути задана масовими, об'ємними або молярними частками.

Масовою часткою називають відношення маси М_i кожного газу, що входить в суміш, до загальної маси М суміші: .

Об'ємною часткою називають відношення приведеного об'єму V_i газу до загального об'єму суміші V_сум газів:

де V_i ‑ приведений об'єм, тобто об'єм, який займав би компонент газу при певній температурі і тиску суміші

Молярною часткою називається відношення числа молей K_i кожного газу до числа молей суміші К ‑ К_i /К. Молярна частка чисельно дорівнює об'ємній частці:

Газова постійна суміші газів розраховується залежно від способу завдання суміші

або .

Середня (уявна) молярна маса суміші

або

Парціальний тиск кожного газу дорівнює добутку загального тиску суміші на його об'ємну частку:

Параметри газової суміші можуть бути обчислені з рівняння Клапейрона PV=MRT, де всі величини, що входять в рівняння, відносяться до суміші газів.

Приклад 4. Об'ємний склад сухих продуктів згоряння палива наступний, %: Знайти уявну молярну масу, газову постійну, густину і питомий об'єм продуктів згоряння при В=750 мм рт.ст., t=800°С.

Рішення

Г. Термодинамічні процеси ідеального газу

Термодинамічним процесом називають зміну параметрів стану робочого тіла. Існує нескінченна кількість термодинамічних процесів, їх називають політропними, і зміна параметрів в них підкоряється рівнянню: PVⁿ = const, де n ‑ показник політропи.

Окремими процесами є ізохорний (V=const), ізобарний (P=const), ізотермічний (T=const) і адіабатний (dq=const), який протікає без відведення і підведення теплоти. Для будь-якого процесу зміна внутрішньої енергії 1 кг газу обчислюється за виразом:

зміна ентальпії:

зміна ентропії:

Приклад 5. В закритій посудині знаходиться повітря при тиску Р₁=5 бар і температурі t₁=27С. Визначте тиск повітря після охолоджування до 0°С. Покажіть процес в P‑V і Т‑S -координатах.

Рішення. Залежність між початковими і кінцевими параметрами в ізохорному процесі наступна: . Тоді

 бар.

Приклад 6. Визначте роботу ізобарного розширення азоту масою 7 кг при нагріванні в інтервалі температур від t₁=200⁰С до t₂=600⁰С. Покажіть процес в P‑V і Т‑S -діаграмах.

Рішення. Робота розширення

де М ‑ маса газу, R ‑ газова постійна, Дж/(кгK); t₁, t₂ ‑ відповідно початкова і кінцева температура азоту, ⁰С.

Приклад 7. 0,2 кг кисню при температурі t₁=25⁰С розширюється ізотермічно до триразового збільшення об'єму. Визначте кількість теплоти, що надається тілу.

Рішення. Оскільки в ізотермічному процесі вся підведена теплота йде на здійнення роботи, то

де Q ‑ підведена теплота, Дж; М ‑ маса газу, кг; R ‑ газова постійна, Дж/(кг·К); Т – температура газу, К; V₁ і V₂ ‑ відповідно початковий і кінцевий об'єм, м³.

Приклад 8. Газ СО при тиску Р₁=0,9 бар і початковій температурі t₁=12⁰С адіабатно стискається до тиску Р₂=3,6 бара. Визначте температуру в кінці стиснення.

Рішення. Кінцеву температуру визначають із співвідношення параметрів Р і Т в адіабатному процесі:

де k – показник адіабати. Для двоатомного газу k=1,4. Тоді

Позначимо через N. lg N = 0,286ln4 = 0,286·0,602 = 0,172. Звідси N=1,49. Отже T₂=285·1,49=425 K.

Д. Термодинамічні процеси зміни стану водяної пари

Водяна пара – робоче тіло в парових турбінах і машинах, теплоносій в різних теплообмінниках і т.д. Водяна пара не може розглядатися як ідеальний газ і до неї не застосовні залежності, отримані для ідеальних газів, в тих випадках, коли вони є робочим тілом парових установок.

Графічне зображення термодинамічних процесів з водяною парою

Ізохорний процес (V=const ). На P‑V -діаграмі ізохору зображують відрізком прямої, паралельної осі ординат; на T‑S -діаграмі ‑ в області вологої насиченої пари ‑ кривою лінією з опуклістю вгору, а в області перегрітої пари ‑ опуклістю вниз.

Ізобарний процес (P=const). На P‑V-діаграмі ізобару зображують горизонтальною прямою лінією; на T‑S-діаграмі ‑ в області вологої пари ізобара є одночасно і ізотермою, і її зображають горизонтальною прямою; в області перегрітої пари ‑ кривою з опуклістю вниз; на I‑S-діаграмі в області вологої пари – це похила пряма, а в області перегрітої пари ‑ крива з опуклістю вниз.

Ізотермічний процес (T=const). На P‑V-діаграмі ізотерму зображають в області вологої пари горизонтальною прямою, в області перегрітої пари ‑ кривою з опуклістю вниз; на T‑S-діаграмі ‑ це горизонтальна пряма. В I‑S-діаграмі в області вологої пари ізотерма співпадає з ізобарою, а в області перегрітої пари її зображають кривою з опуклістю вгору.

Адіабатний процес. На P‑V-діаграмі адіабату зображають кривою з опуклістю вниз, що йде в області вологої пари більш полого, ніж в області перегрітої пари; на T‑S і I‑S-діаграмах – це вертикальні прямі.

Основні розрахункові формули для процесів, в яких водяна пара є робочим тілом, зведені в табл. 2.2.

Таблиця 2.2

Основні розрахункові формули

Найменування процесу	Зміна внутрішньої енергії	Теплота, яка бере участь в процесі	Робота процесу
Ізохорний
Ізотермічний
Ізобарний
Адіабатний

Значення параметрів для сухої насиченої пари, води і перегрітої пари беруть з таблиць водяної пари. Значення параметрів вологої насиченої пари визначають за такими формулами:

v_x = v'(1-x) + v"x; i_x = i'(1-x) + i"x; S_x = S'(1-x) + S"x;

де x ‑ ступінь сухості; v', i', S' і v'', i'', S'' – питомий об'єм, ентальпія і ентропія відповідно киплячої рідині і сухої насиченої пари (беруть з таблиць водяної пари).

Необхідні значення параметрів для будь-якої пари також можуть бути визначені по I‑S-діаграмі, але з меншою точністю.

Приклад 10. Визначте кількість теплоти, що підводиться до 2 кг вологої насиченої пари в процесі v=const при P=5,5 бар і ступені сухості x=0,9 для отримання сухої насиченої пари.

Рішення. Теплота, що підводиться ;

U ₁ = M (i₁ - P₁ v₁);

U₂=M (i₂-P₂ v₂).

По I‑S-діаграмі водяної пари знаходимо:

i₁=608 кДж/кг; i₂=660 кДж/кг;

v₁=0,3 м³/кг; v₂=0,3 м³/кг; P₂=6,4 бар.

Тоді

Q_υ = U₂ - U₁ = 5115 – 4750 = 365кДж.

П риклад 11. Визначте кількість теплоти, що витрачається на перегрів 5 кг вологої насиченої пари із ступенем сухості x=0,98 при Р=const=30 бар до температури t= 450°С.

Рішення. По I‑S-діаграмі водяної пари знаходимо: i₁ = 660 ккал/кг; i₂ = 798 ккал/кг. Тоді:

Q_p=M(i₂-i₁) = 5·4,19(798-660) = 2880 кДж.

Приклад 12. 1 кг вологої насиченої пари при P₁=15 бар і x₁= 0,8 ізотермічно розширюється до P₂= 8 бар. Визначте кількість теплоти, зміну внутрішньої енергії і роботу розширення.

Рішення. По I‑S-діаграмі знаходимо:

v ₁ = 0,105 м³/кг; v₂ = 0,25 м³/кг;

i₁ = 573 ккал/кг; i₂ = 676 ккал/кг;

S₁ = 1,34 ккал/(кг·К);

S₂ = 1,62 ккал/(кг·К).

Кількість теплоти:

Q = T(S₂-S₁) = (198 + 273)·(1,62 - 1,34)·4,19 =

=552 кДж/кг.

Внутрішня енергія в початковому стані:

.

Внутрішня енергія в кінцевому стані:

.

Робота розширення

і = q – ΔU = 552 – (2630-2242) 552 – 388 = 164 кДж/кг.

Е. Паливо. Матеріальний і тепловий баланси процесу горіння

Елементарний склад твердих і рідких палив записується у вигляді суми вмісту в них вуглецю С, водню Н, кисню О, сірки S, азоту N, золи А і вологи W у відсотках на 1 кг палива. Залежно від того, яка маса палива береться в розрахунок, кожному числу привласнюється відповідний надрядковий індекс:

горюча ;

суха ;

робоча .

Елементарний склад палива з однієї маси на іншу перераховують згідно з формулами табл. 2.3.

Таблиця 2.3

Коефіцієнти перерахунку мас палива

Перерахунок елементарного складу палива з однієї вологості (зольності) на іншу ведеться за формулами, %:

За відсутності табличних даних теплоту згоряння палив необхідно визначати в калориметричних бомбах. Для орієнтовних розрахунків нижча теплота згоряння твердих або рідких палив може бути розрахована по формулі Менделєєва, ккал/кг:

,

або кДж/кг:

.

Вища і нижча теплоти згоряння робочої маси зв'язані виразом:

.

Для порівняння теплової цінності різних видів палива використовують умовне паливо, яке має теплоту згоряння, рівну 29300 кДж/кг. Витрату натурального палива на умовне перераховують за формулою В_у = ВЕ,

де B_у і В ‑ витрата відповідно умовного і натурального палива, кг/с;

Е ‑ тепловий еквівалент палива. .

Мінімальна (теоретична) кількість повітря, необхідна для повного спалювання 1 кг твердого або рідкого палива при α= 1,0 м³/кг:

Дійсна кількість повітря визначається добутком коефіцієнта надлишку повітря і теоретичної кількості повітря, м³/кг:

.

Об'єм продуктів згоряння, що утворилися при спалюванні 1 кг палива в теоретично необхідній кількості повітря

де об'єми продуктів згоряння кожного компоненту відповідно будуть:

Об'єм продуктів згоряння при спалюванні 1 кг палива і дійсній кількості повітря, м³/кг:

Ентальпія продуктів згоряння I_Г (кДж/кг), (кДж/м³) при α=1 визначається як сума добутків об'єму елементарних продуктів згоряння, їх питомої теплоємності С, температури θ, ентальпії надмірного повітря і золи I_З:

де ‑ теоретичні об'єми продуктів згоряння палива і повітря, м³/кг, м³/м³; α_ун – частка золи, що виноситься газами; С_З – питома теплоємність золи, кДж/(кг·К).

Елементарний склад газоподібних палив звичайно приводиться як процентний вміст окремих газів: оксиду вуглецю СО, водню Н₂, метану СН₄, етану С₂Н₆, кисню О₂, азоту N₂ та інших.

Теплота згоряння газоподібних палив підраховується як сума добутків теплоти згоряння окремих компонентів і їх вмісту в 1 м³ газоподібного палива, МДж/м³:

Мінімальний (теоретичний) об'єм повітря, необхідний для спалювання 1 м³ газоподібного палива, м³/м³:

.

Теоретичний об'єм азоту:

.

Об'єм трьохатомних газів:

.

Об'єм сухих газів:

Теоретичний об'єм водяної пари:

де d_Г – вологовміст газоподібного палива, віднесений до 1 м³ сухого газу, г/м³.

Дійсний об'єм продуктів згоряння при α >1, м³/м³:

.

(При спалювання сланців об'єми продуктів згоряння обчислюються з поправкою на розкладання карбонатів К).

Розрахунковий зміст золи з урахуванням карбонатів, що розклалися, %:

Об'єм вуглекислоти, м³/кг;

О б'єм газів, м³/кг:

При спалюванні суміші палив об'єми і ентальпії продуктів згоряння пропонується розраховувати для кожного палива окремо на 1 кг твердого або рідкого і на 1 м³ газоподібного палива.

По отриманих для кожного палива значень V^o, V_RO2, V_N2 визначаються об'єми повітря і продуктів згоряння суміші, м³/кг. Для суміші двох однорідних палив (твердих, рідких або газоподібних):

де g' – масова частка першого палива в суміші.

По аналогічних формулах визначають суміші. Розрахунок ведеться на 1 кг твердого або рідкого палива. Для суміші твердого або рідкого палива з газоподібним паливом заздалегідь визначається кількість газу Х, що приходиться на 1 кг палива.

Об'єм повітря, м³/кг:

Аналогічно розраховують об'єми вуглекислоти, азоту, водяної пари.

Питома теплоємність продуктів згоряння (середня), кДж/(м³·К):

Теоретична температура горіння:

Коефіцієнт надлишку повітря за даними газового аналізу продуктів згоряння визначають по наступних формулах:

- при повному згорянні палива, коли в продуктах згоряння відсутні продукти неповного горіння

- при вмісті в продуктах згоряння горючих компонентів спочатку визначають надмірний вміст кисню, %:

а потім по формулі – коефіцієнт надлишку повітря.

Приклад 13. Визначте кількість повітря, теоретично необхідну для спалювання 1 кг палива наступного складу, %: C^P=37,2; H^P=2,6; S^P=0,6; N^P=0,4; O^P=12; W^P=40; A^P=7,2, а також об'єм продуктів згоряння при коефіцієнті надлишку повітря α=1,2.

Рішення. Визначаємо теоретично необхідну кількість повітря:

Визначаємо об'єм продуктів згоряння, м³/кг:

Приклад 14. Визначте нижчу і вищу теплоти згоряння робочої маси вугілля марки Д, якщо склад його горючої маси, %: C^Г=78,5; H^Г=5,6; =0,4; N^Г=2,5; O^Г=13. Зольність сухої маси A^С=15,0 % і вологість W^P=12,0 %.

Рішення. Користуючись коефіцієнтами перерахунку з табл. 2.3, визначаємо зольність робочої маси палива А^р і склад робочої маси, %:

Нижча теплота згоряння робочої маси палива:

Вища теплота згоряння:

Ж. Вторинні енергоресурси

Використання теплоти відхідних газів для отримання гарячої води і пари

Відхідні котельні гази використовують у водяних утилізаторах (економайзерах) і в котлах-утилізаторах для отримання гарячої води і пари.

Витрата відхідних газів з котельні, м³/с:

де n ‑ кількість котлоагрегатів; B_P ‑ розрахункова витрата палива, кг/с; і ‑ теоретично необхідний об'єм відповідно газів і повітря, м³/кг (м³/м³); α_У – коефіцієнт надлишку повітря за утилізатором; θ – температура газів на вході в утилізатор, ^oC.

Кількість теплоти, що віддається відхідними котельними газами утилізатору, кДж/с:

де ‑ середня витрата відхідних газів при їх охолоджуванні в утилізаторі від θ до θ', м³/с;

‑ середня об'ємна теплоємність газів, кДж/(м³·К);

θ' ‑ температура газів на виході з утилізатора, ^oC.

Використання теплоти пічних відхідних газів для отримання пари

Кількість виробленої теплоти у вигляді пари в утилізаторі за рахунок теплоти відхідних газів, кДж/с:

де І_г, І_г^ ‑ ентальпія газів на виході відповідно з печі і з утилізатора, кДж/кг (кДж/м³); β ‑ коефіцієнт, що враховує невідповідність режиму і кількості годин роботи утилізатора і агрегату ‑ джерела вторинних енергоресурсів; ‑ коефіцієнт втрат теплоти утилізатора в навколишнє середовище.

Економія умовного палива за рахунок вторинних ресурсів, кг/с:

де ‑ ККД котельні, що заміщається.

Приклад 15. Визначити економію умовного палива при використанні виробленої теплоти у вигляді пари в котлі-утилізаторі за рахунок теплоти відхідних газів двох печей, якщо температура газів на виході з печей θ = 700^оС, на виході з котла-утилізатора θ' = 200^оС, коефіцієнт надлишку повітря за котлом-утилізатором α_У=1,35. Розрахункова витрата палива двох печей B_P=0,036 м³/с, коефіцієнт, що враховує невідповідність режиму і числа годин роботи котла-утилізатора і печей β=1,0; коефіцієнт втрат теплоти котла-утилізатора в навколишнє середовище  =0,12 і ККД котельні, що заміщається, =0,86. Печі працюють на природному газі Шебелінського родовища складу, %: СН₄ = 94,1; С₂Н₆ = 3,1; С₃Н₈ = 0,6; С₄Н₁₀ = 0,2; С₅Н₁₂ = 0,8; N₂ = 1,2.

Рішення. Теоретично необхідний об'єм повітря

Об'єм трьохатомних газів

Теоретичний об'єм азоту

Теоретичний об'єм водяних газів

Ентальпія газів на виході з печей

Ентальпія газу на виході з котла-утилізатора

(значення питомих ентальпій газів і золи беруться з додатку).

Кількість виробленої теплоти у вигляді пари в котлі-утилізаторі за рахунок теплоти відхідних газів

Економія умовного палива при використанні виробленої теплоти у вигляді пари в котлі-утилізаторі за рахунок теплоти відхідних газів

,

або