4. 5. 3. Программа 3
Наша третья программа для задачи о восьми ферзях опирается на следующие соображения. Каждый ферзь должен быть размещен на некотором поле, т. е. на некоторой вертикали, некоторой горизонтали, а также на пересечении каких-нибудь двух диагоналей. Для того, чтобы была обеспечена безопасность каждого ферзя, все они должны располагаться в разных вертикалях, разных горизонталях и в разных диагоналях (как идущих сверху вниз, так и идущих снизу вверх). Естественно поэтому рассмотреть более богатую систему представления с четырьмя координатами:
x вертикали у горизонтали u диагонали, идущие снизу вверх v диагонали, идущие сверху вниз
Эти координаты не являются независимыми: при заданных х и у, u и v определяются однозначно (пример на рис.4.10). Например,
u = х - у v = х + у
Рис. 4. 10. Связь между вертикалями, горизонталями и диагоналями. Помеченное поле имеет следующие координаты: x = 2, у = 4, u = 2 - 4 = -2, v = 2 + 4 = 6.
Области изменения всех четырех координат таковы:
Dx = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] Dy = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
Du = [-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] Dv = [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16]
Задачу о восьми ферзях теперь можно сформулировать следующим образом: выбрать восемь четверок (X, Y, U, V), входящих в области изменения (X в Dx, Y в Dy и т.д.), так, чтобы ни один их элемент не выбирался дважды из одной области. Разумеется, выбор Х и Y определяет выбор U и V. Решение при такой постановке задачи может быть вкратце таким: при заданных 4-х областях изменения выбрать позицию для первого ферзя, вычеркнуть соответствующие элементы из 4-х областей изменения, а затем использовать оставшиеся элементы этих областей для размещения остальных ферзей. Программа, основанная на таком подходе, показана на рис. 4.11. Позиция на доске снова представляется списком Y-координат. Ключевым отношением в этой программе является отношение
peш( СписY, Dx, Dy, Du, Dv)
которое конкретизирует Y-координаты (в СписY) ферзей, считая, что они размещены в последовательных вертикалях, взятых из Dx. Все Y-координаты и соответствующие координаты U и V берутся из списков Dy, Du и Dv. Главную процедуру решение можно запустить вопросом
?- решение( S)
Это вызовет запуск реш с полными областями изменения координат, что соответствует пространству
решение( СписY) :- реш( СписY, % Y-координаты ферзей [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8], % Область изменения Y-координат [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8], % Область изменения Х-координат [-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], % Диагонали, идущие снизу вверх [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 14, 15, 16] ). % Диагонали, идущие сверху вниз реш([ ], [ ], Dy, Du, Dv).
реш( [Y | СписY], [X | Dx1], Dy, Du, Dv) :- удалить( Y, Dy, Dy1), % Выбор Y-координаты U is X-Y % Соответствующая диагональ вверх удалить( U, Du, Du1), % Ее удаление V is X+Y % Соответствующая диагональ вниз удалить( V, Dv, Dv1), % Ее удаление реш( СписY, Dх1, Dy1, Du1, Dv1). % Выбор из оставшихся значений
удалить( А, [А | Список], Список).
удалить(A, [В | Список ], [В | Список1 ] ) :- удалить( А, Список, Список1).
Рис. 4. 11. Программа 3 для задачи о восьми ферзях.
задачи о восьми ферзях.
Процедура реш универсальна в том смысле, что ее можно использовать для решения задачи об N ферзях (на доске размером N х N). Нужно только правильно задеть области Dx, Dy и т.д.
Удобно автоматизировать получение этих областей. Для этого нам потребуется процедура
генератор( Nl, N2, Список)
которая для двух заданных целых чисел Nl и N2 порождает список
Список = [Nl, Nl + 1, Nl + 2, ..., N2 - 1, N2]
Вот она:
генератор( N, N, [N]).
генератор( Nl, N2, [Nl | Список]) :- Nl < N2, М is Nl + 1, генератор( М, N2, Список).
Главную процедуру решение нужно соответствующим образом обобщить:
решение( N, S)
где N - это размер доски, а S - решение, представляемое в виде списка Y-координат N ферзей. Вот обобщенное отношение решение:
решение( N, S) :- генератор( 1, N, Dxy), Nu1 is 1 - N, Nu2 is N - 1, генератор( Nu1, Nu2, Du), Nv2 is N + N, генератор( 2, Nv2, Dv), реш( S, Dxy, Dxy, Du, Dv).
Например, решение задачи о 12 ферзях будет получено с помощью:
?- решение( 12, S).
S = [1, 3, 5, 8, 10, 12, 6, 11, 2, 7, 9, 4]