Быстрая сортировка

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Ярославский государственный технический университет»

Кафедра «Информационные системы и технологии»

Реферат защищен

С оценкой _______

Преподаватель канд. техн. наук

Т. П. Никитина

«___» __________ 2018

Быстрая сортировка

Реферат по курсу “Информатика”

ЯГТУ 09.03.02 - 001 Р

Реферат выполнил

студент гр. ЭИС-14

Ивин П.А.

«___» __________ 2018

2018

Быстрая сортировка.

Быстрая сортировка (quick sort) является одним из наиболее эффективных алгоритмов сортировки. В основе его лежит идея декомпозиции, т.е. поэтапного сведения исходной задачи к набору аналогичных, но более простых, вплоть до тривиальных, а затем объединения результатов. Подход можно описать в виде трех этапов:

Разделение. Массив A[p, r] разбивается на два подмассива A[p,q] и A[q+1,r] (возможно, пустые) так, чтобы все элементы первого были меньше элементов второго. С этой целью в исходном массиве выбирается «опорный» элемент M, определяющий границу разбиения: все элементы со значениями меньшими M, перемещаются в первый подмассив, а элементы со значениями большими либо равными M, размещаются во втором.

Решение подзадач. К каждому из двух полученных массивов рекурсивно применяется та же самая процедура. Поскольку все значения элементов первого массива меньше значений во втором массиве, исходный массив будет отсортирован правильно. В процессе последовательного разделения задача постепенно сведется к сортировке подмассивов, содержащих не более двух элементов, которая решается тривиально.

Объединение результатов. В данном алгоритме подзадачи (т.е сортировка подмассивов) решаются «на месте», поэтому никаких специальных действий для объединения результатов не потребуется.

Существенным вопросом в этом алгоритме является выбор опорного элемента M. Нетрудно видеть, что наиболее эффективной стратегией был бы выбор медианного элемента массива, что обеспечивало бы разделение массива на две примерно равные части. Однако, определение медианного элемента повлекло бы дополнительные вычислительные затраты, поэтому чаще всего в качестве опорного выбирают элемент, расположенный посередине массива.

Рис. 1. Процедура разделения.

void quickSort( double * A, int first, int last )

{

int i = first, j = last;

// Выбираем "опорный" элемент

double med = A[ (first + last) / 2 ];

// Разбиваем массив на 2 части относительно

// "опорного" элемента

do

{

while ( A[i] < med )

i++;

while ( A[j] > med )

j--;

if ( i <= j )

{

double tmp = A[i];

A[i] = A[j];

A[j] = tmp;

i++;

j--;

}

}

while ( i <= j );

// Рекурсивно применяем ту же процедуру к

// обеим частям массива

if ( i < last )

quickSort( A, i, last );

if ( first < j )

quickSort( A, first, j );

}

Несмотря на все положительные качества быстрой сортировки, базовый вариант алгоритма обладает недостатком: сортировка становится крайне неэффективной на некоторых часто встречающихся на практике типах входных данных. Например, если она применяется для сортировки уже отсортированной последовательности из N элементов, то все операции разделения вырождаются, и алгоритм рекурсивно вызовет сам себя N раз, перемещая за каждый вызов всего лишь один элемент. В этом, худшем, случае нетрудно оценить требуемое количество операций сравнения: N + (N-1) + …+ 2 + 1 = (N+1)N/2, что приводит к асимптотической оценке количества сравнений в худшем случае в O(N²).

В наиболее благоприятном случае, на каждой стадии разбиения последовательность делится на равные части. Это приводит к тому, что количество операций сравнения удовлетворяет рекуррентному соотношению:

C_N = 2C_N/2 + N.

Можно доказать, что решением этого соотношения будет C_N ≈ N logN. Асимптотическая оценка среднего случая приводит к аналогичной величине.

Большая глубина рекурсивных вызовов может быть серьезной проблемой при использовании быстрой сортировки для очень длинных последовательностей. При использовании базового варианта алгоритма, даже короткие участки последовательности будут сортироваться по тому же принципу, при этом, количество вызовов алгоритма для коротких блоков на самых «глубоких» уровнях рекурсии будет очень велико. Сократить расходы на рекурсивный вызов алгоритма для коротких блоков можно простым способом – ввести ограничение на минимальный размер блока, для которого вместо алгоритма быстрой сортировки будет вызван другой, нерекурсивный, метод сортировки, например, сортировка вставками. Определение фактического значения этого порогового значения можно путем анализа скорости работы алгоритма на ожидаемых на практике последовательностях.

Ещё одно из возможных усовершенствований алгоритма быстрой сортировки заключается в использовании такого опорного элемента, который с большой вероятностью приводил к разделению последовательности на примерно равные части. Наиболее безопасный выбор, минимизирующий вероятность возникновения наихудшего случая, обеспечивается использованием в качестве разделяющего случайного элемента массива. Такой метод представляет собой пример вероятностного алгоритма, когда используется случайный характер величин для достижения высокой эффективности с большой вероятностью, независимо от степени упорядоченности входных данных.

Другой часто используемый способ нахождения подходящего разделяющего элемента заключается в том, что производится выборка трёх элементов из последовательности, а затем в качестве разделяющего используется медиана из этих трех элементов. Такой выбор основывается на том, что в среднем, медиана из трех элементов даст грубую оценку медианы всей последовательности.

Ещё один особый случай, в котором быстрая сортировка неэффективна – последовательность, содержащая большое количество (в предельном случае – все) дублирующихся элементов. В таком случае в качестве усовершенствования можно предложить разбивать последовательность не на две, а на три части: первая – для элементов меньших опорного, вторая – для элементов, равных ему, третья – для элементов, больших опорного. Однако, выполнение такого разделения реализуется гораздо сложнее.

Быстрая сортировка нашла широкое применение в связи с тем, что она эффективно работает в большинстве случаев. Другие методы работают лучше только в некоторых особых ситуациях, время от времени встречающихся на практике.

Реализация на С++

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define SIZE 20 // Функция быстрой сортировки void quickSort(int *numbers, int left, int right) {   int pivot; // разрешающий элемент   int l_hold = left; //левая граница   int r_hold = right; // правая граница   pivot = numbers[left];   while (left < right) // пока границы не сомкнутся   {     while ((numbers[right] >= pivot) && (left < right))       right--; // сдвигаем правую границу пока элемент [right] больше [pivot]     if (left != right) // если границы не сомкнулись     {       numbers[left] = numbers[right]; // перемещаем элемент [right] на место разрешающего       left++; // сдвигаем левую границу вправо      }     while ((numbers[left] <= pivot) && (left < right))       left++; // сдвигаем левую границу пока элемент [left] меньше [pivot]     if (left != right) // если границы не сомкнулись     {       numbers[right] = numbers[left]; // перемещаем элемент [left] на место [right]       right--; // сдвигаем правую границу вправо      }   }   numbers[left] = pivot; // ставим разрешающий элемент на место   pivot = left;   left = l_hold;   right = r_hold;   if (left < pivot) // Рекурсивно вызываем сортировку для левой и правой части массива     quickSort(numbers, left, pivot - 1);   if (right > pivot)     quickSort(numbers, pivot + 1, right); } int main() {   int a[SIZE];   // Заполнение массива случайными числами   for (int i = 0; i<SIZE; i++)     a[i] = rand() % 201 - 100;   // Вывод элементов массива до сортировки   for (int i = 0; i<SIZE; i++)     printf("%4d ", a[i]);   printf("\n");   quickSort(a, 0, SIZE-1); // вызов функции сортировки             // Вывод элементов массива после сортировки   for (int i = 0; i<SIZE; i++)     printf("%4d ", a[i]);   printf("\n");   getchar();   return 0; }

Список использованных источников

1. https://allbest.ru/k-3c0a65635a3ac69b5d53a88421206d37.html

2. https://www.bibliofond.ru/view.aspx?id=792046

3. http://kvodo.ru/quicksort.html

4. http://algolist.manual.ru/sort/quick_sort.php

5. https://ru.wikibooks.org/wiki/Реализации_алгоритмов/Сортировка/Быстрая