17.3. Кинематика точки при естественном способе описания движения

Аксиома (о гладкости траекторий):

в

17.13

кинематике все траектории являются гладкими линиями - ни они сами, ни первые и вторые их производные не имеют разрывов.

Сформулированное не противоречит встречающимся качественным исследованиям - мягкие и жёсткие удары в кулачковых механизмах и т.д., ибо при количественных исследованиях оказывается, что острие иглы под микроскопом смотрится как холм, взаимодействующие поверхности всегда деформируются.

П

17.14

одвижная касательная (на рис.17.7 - ;- её орт.) - это направленная в сторону возрастания координаты () полукасатель-ная с началом во времени совпадающим с движущейся точкой ().

К понятию

«подвижная касательная»

В общем случае орт подвижной касательной – величина переменная (по направлению); если же траекторией точки является отрезок прямой, то.

П

5

0

2

1

3

4

S

M

9

7

6

8



T

роекцию скорости точки на подвижную касательную () будем обозначать просто. Тогда:

17.15

.

П

Рисунок 17.7

роекция скорости точки на подвижную касательную – величина алгебраическая – может быть большей и меньшей нуля.

95

Из математического анализа известно, что для гладких линий длины бесконечно малых дуг равны длинам соответствующих стягивающих хорд с точностью до бесконечно малых второго порядка малости. Это, а также 7 и 15, приводят к выводу:

17.16

- проекция скорости точки на подвижную касательную равна производной по времени от криволинейной её координаты.

С целью рассмотрения ускорения точки, необходимо обратиться к некоторым понятиям и результатам дифференциальной геометрии.-

Соприкасающаяся плоскость– это плоскость, в которой находится движущаяся точка с прилегающим к ней бесконечно малым участком траектории. Очевидно, что подвижная касательная находится в соприкасающейся плоскости. Если траекторией является плоская кривая, то соприкасающейся плоскостью является плоскость расположения траектории, т.е. её положение не зависит от времени (она является постоянной). Если же траекторией точки является пространственная кривая, то в различных её точках касательные плоскости будут различными.

П

17.17

К понятию «подвижный трёхгранник»

одвижная главная нормаль(её орт - ) - это ось, начинающаяся в движущейся точке, перпендикулярная подвижной касательной, расположенная в соприкасающейся плоскости и направленная в сторону вогнутости бесконечно малого участка траектории, примыкающему к движущейся точке.

П

17.18

n

b



одвижная бинормаль(её орт - ) - это ось, дополняющая подвижные касательную и главная нормаль до прямоугольной системы координат, удовлетворяющей условию: .

П

17.19

Рисунок 17.8

одвижный трёхгранник(см. рис.17.8) - это совокупность трёх взаимно перпендику-лярных подвижных касательной, главной нормали и бинормали.

Е

17.20

сли - угол между касательными, проведенными в начале и конце элементарного участка траектории, длиной и содержащего точку , то величину называюткривизной траектории в её точке . Величину, обратную кривизне , называютрадиусом кривизны траектории в точке А.

96