17.5*. Рекомендуемый подход к определению скоростей и ускорений точки при обобщённо-координатном способе описания её движения

Определяющие положение точки в пространстве (и изменяющиеся, поэтому, во времени) 3 независимые переменные в общем случае обозначаем

а

-

уравнения движения точки в обобщённых координатах.

Например, применительно к сферической системе (см. рис.3) можно обозначить: .

С целью определения скоростей и ускорений точки можно пойти по пути переведения описания её движения из обобщённых координат в декартовы.

Например, переход от описания движения точки в сферической системе координат к описанию движения этой же точки в декартовой системе осуществляется по формулам:

; ;

(вектор вначале разложен наи; затемспроектирован на оси, ана).

В общем случае получается:

б

(- первая,- вторая,- третья функции обобщённых координат).

Переход от (а) и (б) к проекциям скоростей () и ускорений

104

() на оси декартовой системы координат осуществляется по правилам взятия производных от сложных функций. При этом, удобна следующая система обозначений:

«штрих» () - символ частной производной (от соответствующих функций -);

нижний индекс («1», «2», «3») отображает переменную, по которой берётся частная производная (по ).

Тогда, из (б) и (а):

в

;

.

Из (в) и (а):

г

;

.

Например, в случае сферической системы координат:

;

;

.

.

Аналогично получаются математические выражения для и.

105

Проекции скоростей и ускорений можно определять и без наличия отображающих их аналитических выражений. Особенно удобно делать это тогда, когда они получаются длинными - произошедшая компьютеризация общества через численный метод позволяет для определения скоростей и ускорений использовать существенно более простые аналитические выражения для координат.

При использовании численного метода нужно вычислять три значения координаты (положим ) - для интересующего момента времени, дляи. В качестве некоторой стандартной величины можно принимать. Если этого окажется недостаточно, что мало- вероятно,можно взять ещё на несколько порядков меньшим.

Итак, для,ивычисляются значения, соответственно,,и.

Тогда, в соответствии

с вводившимися понятиями:

По причине малого отличия от, проекция скорости точки в момент времени-(отличияотбудут тем меньшими, чем меньше).

Проекция же ускорения точки на ось в момент времени-

Если по условиям конкретно решаемой задачи ориентировку векторов скоростей и ускорений точек целесообразно осуществлять относительно заданной системы координат (сферической, эллиптической и т.п.), то можно воспользоваться методом, содержащим в своём описании понятия «коэффициенты Ляме» и «подвижные вариационные трёхранники», с чем можно ознакомиться, например, в учебном пособии «Игнатищев Р.М. Кинематика.- Могилёв: ММИ, 1979.- 102с.».

Связь между скоростями (и ускорениями) относительно различных систем отсчёта будет изучаться через раздел - после рассмотрения простых движений твёрдого тела.

Изложение последующего материала целесообразно предварить терминологической справкой: принято различать 5 видов движения тел - поступательное, вращательное (которые называют простейшими), сферическое (может в одних случаях расссматриваться как простое, в других – как сложное) и два сложных движения - плоское и свободное.

106