30.8. Закон об изменении кинетической энергии

Является основой 32 - 34 разделов данного «Курса», широко используется для получения рабочих формул в специальных инженерно-механических дисциплинах.

Принимаем к рассмотрению произвольную механическую систему; число её частиц - . - масса, скорость и ускорение -той из них; и - равнодействующие внешних и внутренних, приложенных к ней сил. Развиваемые равнодействующими и мощности: . Неподвижная система отсчёта инерциальная.

Записываем основное уравнение динамики для -той частицы:

.

Скалярно умножаем записанное уравнение на . Получаем:

а

,

б

и, поэтому:

в

.

(в) - это мысленно представляемых записанными в столбец равенств - второе под первым, третье под вторым и т.д. (с индексами и т.д. ).

Почленно складываем левые и правые части равенств (в):

. Итак, получен

закон об изменении кинетической энергии через мощности:

-

производная по времени от кинетической энергии для любой механической системы равна сумме мощностей, развиваемых всеми внешними и внутренними силами, действующими на точки этой механической системы.

278

Распространены и две другие записи закона об изменении кинетической энергии.

После умножения математического выражения 30.24 на , получаем

з

30.25

акон об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме:

- -- элементарное изменение кинетической энергии для любой механической системы равно суммарной элементарной работе всех внешних и внутренних сил, действующих на точки этой механической системы.

Пусть и - два, отличающиеся на конечную величину, момента времени. Интегрируя выражение 30.25 – - получаем

з

30.26

акон об изменении кинетической энергии в конечной (интегральной) форме: -

для любой механической системы изменение кинетической энергии за конечный промежуток времени равно суммарной работе за тот же промежуток времени всех внешних и внутренних сил, действующих на эту механическую систему.

Замечания: 1. В отличие от ранее рассмотренных законов динамики, здесь обязателен учёт не только внешних, но и внутренних сил;

2. Если механическая система состоит из абсолютно твёрдых тел и нерастяжимых нитей, а трением в трущихся друг о друга телах пренебрегается (по причине их малости во многих конкретно решаемых задачах), то внутренние силы можно не учитывать.

Системы, в которых суммарные мощности (и работы) внутренних сил равны нулям, называют механическими системами с идеальными связями.

Для механических систем с идеальными связями математические выражения 30.24-26 принимают вид: ; ; .

Корректное использование закона об изменении кинетической энергии даёт высоконадёжные предсказания, что проверено тремя столетиями – понятие «работа силы» введено в 1615 году французом Саломоном де Ко (1576-1630); величина встречается у Х.Гюйгенса (1629-1695), но не имеет названия; 50 лет спустя Лейбниц назвал её живой силой; кинетической энергией (половинкой живой силы), в сочетании с понятием «работа», оперировал Г.Кориолис (1792-1843).

279