30.5. Понятие о кинетической энергии. Формулы для её вычисления в случаях поступательно и вращательно движущихся тел

Пусть произвольная механическая система состоит из частиц; - масса, - скорость -той из них. Тогда:

в

30.18

еличину называют кинетической энергией -той частицы, а

-

кинетической энергией рассматриваемой механической системы.

По причине одинаковости скоростей всех точек

к

30.19

инетическая энергия поступательно движущегося тела определяется формулой

, где

- его масса, а - модуль скорости.

Для вращательно движущегося тела:

30.21

, т.е.

кинетическая энергия пврщательно движущегося тела определяется формулой

30.20, Где

- момент инерции тела относительно оси вращения и - его угловая скорость.

275

30.6*. Формула для вычисления кинетической энергии сферически движущегося тела

Пусть - центр сферического движения, а - связанная с телом система координат; причём, её оси являются главными осями инерции тела.

В общей формуле -

-

выразим через угловую скорость и геометрические характеристики тела:

Т.к. , то по способу перестановки индексов имеем:

.

Но , т.е. векторскалярно перемножается сам на себя. Учитываем, что скалярные произведения ортогональных векторов равны нулю и получаем:

.

При возведениях в квадраты средние члены будут содержать попарные произведения различных координат. При подстановке в формулу (а) они дадут центробежные моменты инерции. Принятые оси главные и, поэтому, все центробежные моменты инерции тела равны нулям. Таким образом, отследует сохранить лишь сумму квадратов:

б

.

После подстановки в формулу (а) выражения (б), получаем:

.

Выражения в круглых скобках приводят к появлению осевых моментов инерции - . Таким образом и получается

формула для вычисления кинетической энергии сферически движущегося тела:

.

30.7*. Формулы для вычисления кинетической энергии свободно и плоско движущихся тел

Пользуясь законом сложения скорость -той частицы представляем суммой двух составляющих –

276

а

, где

- скорость центромассовой системы отсчёта (относительно инерциальной);

- скорость -той частицы относительно центромассовой системы.

б

Из предыдущих двух подразделов видно, что первые две составляющие () выражения (б) при подстановкев общую формулу для вычисления кинетической энергии дадут поступательную и сферическую составляющие полной кинетической энергии -

, , где

-масса тела; - моменты инерции тела относительно его главных центральных осей инерции; - проекции угловой скорости тела в сферическом его движении относительно центромассовой системы отсчёта.

Выясним, что даст третья составляющая выражения (б) при подстановкев общую формулу для вычисления кинетической энергии.-

на основании понятия центра масс =

. Итак,

к

30.22

инетическую энергию свободно движущегося тела можно вычислять как сумму двух слагаемых – кинетической энергии поступательного движения (вычисляемую как для материальной точки, движущейся со скоростью центра масс тела и обладающей его массой) и кинетической энергии тела в его сферическом движении относительно центромассовой системы отсчёта:

.

Самостоятельно предлагаем получить результат:

к

30.23

30.24

инетическую энергию плоско движущегося тела можно вычислять как сумму двух слагаемых – кинетической энергии поступательного его движения со скоростью центра масс и кинетической энергии во вращательном движении этого тела относительно центромассовой системы отсчёта:

.

277