П

ба

олученное выражение объединяем с последним равенством из строки (а) и получаем: , а с учётом допущения 29.20 -

.

С другой стороны . Таким образом:

в

.

Учитываем, что , а, где- алгебраическая величина - еслирасположена выше точки(см. рис.18), тобольше нуля, если ниже – меньше нуля). Тогда (в) принимает вид:

.

Итак,

29.21

геометрическая ось гироскопа описывает коническую поверхность вокруг вертикали с угловой скоростью

,

из которой видно:

29.22

чем меньшим будет непопадание центра тяжести гироскопа в центр сферического движения и большим модуль угловой скорости собственного вращения (), тем меньшей будет угловая скорость прецессии его оси.

ПРИМЕР 29.8.- Вычисление угловой скорости прецессии гироскопа

Дано. – Момент инерции гироскопа кг^..см², масса кг, непопадание центра масс в центр сферического движения мкм. Модуль угловой скорости собственного вращения гироскопа об/мин.

Требуется.- Вычислить модуль угловой скорости прецессии гироскопа.Решение.- угловых градуса за сутки.

265

29.15*. О гироскопе с двумя степенями свободы, гироскопическом моменте и гироскопических реакциях

П

Рисунок 29.20

Принципиальная схема гироскопа

с двумя степенями свободы

ринципиальная схема гироскопа с двумя степенями свободы изображена на рис.29.20: - гироскоп, - его рама. можно представлять в виде маховика-тороида, - его ось вращения; и - подшипники, - центр тяжести гироскопа. Гироскоп относительно рамы вращается с угловой скоростью . В свою очередь, рама принудительно вращается вокруг оси с угловой скоростью (и - подшипники, в которых расположены цапфы рамы).

Приведенная принципиальная схема гироскопа с двумя степенями свободы является моделью реальных устройств. Например, ротор электродвигателя троллейбуса – это гироскоп, а поворачивающийся на поворотах его корпус – рама гироскопа. Колёсная пара и рама автомобиля – это также гироскоп с двумя степенями свободы. И т.д.

Замечено: если угловая скорость рамы не равна нулю ( ), то гироскоп оказывает сопротивление повороту его оси относительно инерциальной системы отсчёта. И явление это, вновь-таки, не есть что-то необъяснимое – оно также надёжно предсказывается методами теоретической механики. Для показа этого обратимся к рассмотренной в предыдущем разделе формуле (б):

.

Здесь (начало центромассовой системы координат) написано вместо на основании изложенного в подразделе 29.11.

Т.к. , то ясно, что

29.23

величина имеет размерность момента силы; её называют«гироскопическим моментом»; он приложен к рамесо стороны гироскопа.

Гироскопический момент является инженерно ощутимой величиной. Например, при , кг^..м², и он равен кН^.м (Н^.м).

266

Направлен гироскопический момент перпендикулярно и , и ; следовательно направлен перпендикулярно плоскости рамы (что следует из правил векторного произведения).

В условиях схемы, изображённой на рис.29.20, гироскопический момент уравновешивается парой сил , приложенных к оси гироскопа со стороны рамы (со стороны подшипников и ). Эти силы называют «гироскопическими реакциями».

Из рассмотренных равенств видно, что

29.23

гироскопические реакции – это силы, приложенные к оси гироскопа со стороны рамы, расположены в её плоскости и направлены так, что если мысленно приложить их к вектору большой угловой скорости, то он завращается в том направлении, чтобы из двух возможных вариантов (векторы сонаправлены - векторы противоположно направлены) раньше появилась сонаправленность большой и малой угловых скоростей. Модуль каждой из гироскопических реакций определяется формулой:

, где

- угол между векторами и ;

- расстояние между подшипниками гироскопа.

Р

30.1а

ассмотренное явление используют не только для определения гироскопических реакций (с целью их учёта в прочностных и других инженерных расчётах), но, в сочетании с приборами-указателями направлений, используют для решения задач по стабилизации движений. В частности, гироскопические силы используют для обеспечения также точности в направленности орудия движущегося танка на цель; для предотвращения морской качки; для обеспечения вертикального положения двухколёсных автомобилей и вагонов на однорельсовых дорогах; и т.д.

30.2

267