Закон о трёх силах широко используется при решении задач на равновесие. Покажем переход к нему с помощью ранее описанных методов и опорных фактов.

П

К закону о трёх силах

усть А (см. рис. 15.14) – произвольная точка на линии действия силы . На линии действия силы возьмём две точки - В и С, такие, чтобы и были непараллельными линии действия силы .

Т

Рисунок 15.14

.к. тело покоится, а силы и пересекают ось , то из получим: .

и не || . Остаётся единственное - сила также пересекает .

Аналогично рассуждая приходим к выводу: сила пересекает и ось .

пересекает и . Значит она, как и , лежит в плоскости АВС.

Но и непараллельны. Пусть О - точка их пересечения.

Рассматриваемая система из трёх сил по условию является уравновешенной. Поэтому для неё . Моменты от сил и относительно точки О равны нулям. Значит нулю равен и момент относительно точки О силы . Но . Остаётся единственное: также проходит через точку О.

Демонстрация приемлемости применяемых методов перехода от заведомо доверительных (не вызывающих сомнений) механических фактов к другим, завершена.

15.4. Рекомендуемая схема подхода к решению задач на определение реакций связей

Первый этап – применяя принцип освобождаемости от связей, в исходной механической системе мысленно выделить и принять к рассмотрению какое-либо тело.

Какое? - Однозначного ответа не существует. Подходящие тела чаще всего «напрашиваются» из постановки задачи. В общем случае вопрос решается методом проб - путём мысленного просмотра различных вариантов – вначале к рассмотрению принимается одно тело, затем второе, третье и т.д., до тех пор, пока не будет найден приемлемый вариант.

65

По результатам мысленно проведенного анализа возможных вариантов, к рассмотрению принимается какое-либо тело и изображается отдельным рисунком.

Изучившие теоретическую механику данной рекомендацией часто не пользуются – представляют этот рисунок мысленно. С целью меньших затрат на качественное усвоение изучаемого материала, студентам от такой «экономии» целесообразно отказываться.

Второй этап – изобразить на рисунке все действующие на тело внешние силы (активные и реакции связей). Чтобы не забыть учесть ту или иную реакцию связи, целесообразно использовать принцип освобождаемости от связей (см. подраздел 13.3).

Изобразите на рисунке необходимые геометрические размеры (расстояния, углы).

Для удобства чтения рисунков тела, активные силы, реакции связей (они обычно неизвестны) и размерные линии изображайте чертёжным инструментом и отличающимися друг от друга линиями. Например, тела изображайте шариковой ручкой синего цвета, активные силы - зелёным цветом, реакции связей – красным. Размерные линии изображайте простым чёрным карандашом.

Третий этап. - Составьте систему уравнений равновесия и решите её.

С целью быстрого воспроизведения в памяти схемы решения задач статики удобно помнить словесную формулу: «тело-силы-уравнения».

1 К условию примера 15.1 к решению Примера 15.1 5.5. Примеры на определение реакций связей в простейших механических системах

ПРИМЕР 15.1.- На законы о противодействии и о двух силах

Дано. Механическая система по рис.15.15. ; С – груз, весом .

О

Рисунок 15.15

пределить натяжение нити АВ и усилие в стержне ОВ.

Р

Рисунок 15.16

ешение.- Применяя принцип освобождаемости от связей, принима-ем к рассмотрению и изображаем на рис. 15.16 отдельно груз С, нить ВС и стержень ОВ.

В соответствии с законом о двух силах, для груза С получаем: , причём расположены эти силы на одной прямой, проходящей через точку С.

66

На основании закона о противодействии, записываем: .

Теперь используем закон о двух силах для нити и устанавливаем: .

Вновь применяя закон о противодействии и учитывая предыдущие соотношения, получаем.

a

.

Т.к. силы и сходятся в одной точке, они имеют равнодействующую; мысленно обозначаем её .

Таким образом, стержень ОВ находится в равновесии под действием двух сил - и . На основании закона о двух силах заключаем: сила направлена по стержню ОВ, что и отражено на рис. 15.16.

Теперь для находящегося в равновесии стержня ОВ составляем два уравнения равновесия и решаем их.-

. Откуда , а с учётом а:

кН.

. Откуда

кН.

Замечание.- При написании связи а мы постарались в письменной форме показать все звенья логической цепочки. Это сделано по той причине, что рассматривается 1-й пример на равновесие тел. Но письменное отображение всех звеньев логической цепи требует больших площадей бумаги; кроме того, многократные повторения хорошо понятного вызывает у людей ощущения сходное с оскоминой. По этим причинам, для хорошо понятных из предыдущих изложений логических цепочек обычно на письме показывают лишь начальные и конечные звенья, а промежуточные звенья должны воспроизводиться обучающимися самостоятельно и мысленно. Такой подход наблюдается у авторов всех учебников. Так будем делать и мы. Но не забывать: аксиоматический метод тогда обеспечивает высокую доверительность к получаемым результатам, когда расчётчик может воспроизводить все звенья сооружаемых им логических цепочек.

67

П

К условию

примера 15.2

РИМЕР 15.2.- На закон о трёх силах

Дано. Механическая система по рис. 15.17. кН, м, м.

Определить реакции опорной поверхности В и в шарнире О.

Р

Рисунок 15.17

ешение.- Применяя принцип освобождаемости от связей, принимаем к рассмотрению тело АОВ (см. рис.15.18). Показываем все внешние, действующие на него силы: - активная сила; - реакция

о

К решению

примера 15.2

порной поверхности; - реакция неподвижного шарнира (направлена через точку С на основании закона о трёх силах).

Составляем для тела АОВ уравнения равновесия и решаем их:

. Откуда:

кН.

Рисунок 15.18

. Откуда:

К условию

примера 15.3

кН.

ПРИМЕР 15.3.- На удобство использования приёма разложения сил на составляющие

Д

Рисунок 15.19

ано. У механической системы по рис.15.19 вес подвешенного груза G=10кН; ВО=ОС, , ; стержни АВ, АС и АD невесомы.

Определить усилия в стержнях.

Решение.- Применяя принцип освобождаемости от связей, принимаем к рассмотрению стержень АВ (см. рис.15.20). Показываем все внешние, действующие на него силы:

- сила тяжести (активная сила, передаётся через нить); и - реакции стержней, соответственно, AD и AC. Тройку сил , и представляем, как сходящуюся систему сил, в виде одной – в виде их равнодействующей. Теперь,

68

п

К решению

примера 15.3

рименяя к АВ закон о двух силах, реакцию в шарнире В направляем по стержню.

Составляем уравнения равновесия и решаем их. При этом, с целью облегчения процесса вычислений проекций сил и на оси и , они вначале разложены по осям и .

.

15.25

Рисунок 15.20

.

.

Подставляем в последнее выражение два предыдущих и получаем:

кН.

Теперь находим : кН.

П

К условию примера 15.4

РИМЕР 15.4.- Впервые использован приём отрицательного модуля

Д

15.27

ано. Балка на двух опорах по рис.15.21. кН, м; /м; /м; м, м, м; .

Определить реакции на опорах А и В.

Р

Рисунок 15.21

ешение.- Применяя принцип освобождаемости от связей, принимаем к рассмотрению и изображаем на рис.15.22

балку CABD и все действующие на неё внешние силы.

При этом, модуль равнодействующей от сил, распределённых по закону прямоугольника, кН и проходит она посередине участка АС.

69

М

К решению примера 15.4

одуль же равнодействующей системы сил, распределённых по закону треугольника, определяем как площадь треугольника - кН;

н

Рисунок 15.22

аправлена эта равнодействующая вниз и проходит от точки D на расстоянии, равном одной третьей d.

При изображении реакций

и используем приём отрицательного модуля: безошибочно указать положительные направления (особенно для Y_A и Y_B) пока сложно и, поэтому, вначале эти направления указываются наугад; если в результате последующих вычислений модуль силы окажется отрицательной величиной, это будет означать, что действительное направление реакции противоположно принятому.

С

Приём нахождения неизвестного плеча

оставляем уравнения равновесия и решаем их. При этом, для вычисления момента силы относительно точки А можно использовать

15.26

приём нахождения неизвестного плеча (см. рис.15.23) -

,

л

Рисунок 15.23

ибо

п

Приём разложения силы на составляющие

риём переноса силы вдоль линии её действия и разложения на две составляющие (см. рис.24) -

, т.е.

Рисунок 15.24

,

откуда, после подстановки числовых значений, находим:

кН.

кН.

70

Знак «минус» означает, что первоначально принятое направление для оказалось ошибочным; но теперь мы установили, что в действительности эта сила направлена справа-налево.

. Откуда:

кН.

П

К условию примера15.5

РИМЕР 15.5.- На произвольную прост-

ранственную систему сил при

использовании одной тройки осей

Д

Рисунок 15.25

ано. Вал АВ с жёстко насаженными на него двумя косозубыми колёсами (см. рис.25) находится в равновесии под действием сил ; кН, кН, кН, , ; см, см, см, см; .

О

К решению примера 15.5

пределить , а затем и реакции в подшипниках А и В.

Р

Рисунок 15.26

ешение.- Применяя принцип освобождае-мости от связей, принимаем к рассмотрению (и изображаем на рис.15.26) вал АВ с зубчатыми колёсами. Показываем все внешние, действующие на принятое к рассмотрению тело, силы. Реакции в подшипниках представляем составляю-щими; причём, задачу считаем статически определимой (о чём речь будет ниже), т.е. считаем, что вдольосевая составляющая реакции возникает лишь на одной (левой) опоре - .

Составляем уравнения равновесия и решаем их.

.

71

Используем правило 15.4: «момент силы относительно параллельных и пересекающих её осей равен нулю». Получаем:

. Откуда кН.

Из заданных по условию соотношений: кН и кН.

Процедура составления уравнений равновесия оказывается существенно более простой и понятной, если вначале составить таблицу проекций сил и координаты точек их приложения.

Таблица проекций сил (кН) и координат точек(см) их приложения (к примеру 15.5)

	т. С				т. D
x, X	25	-4	0	0	10	12	0	0
y, Y	7,5	0	-1,5	8,66	0	0	0	30
z, Z	-13	0	2,6	5	5	0	-9	0

Составляем уравнения моментов относительно осей y и z. При вычислениях моментов отдельных сил воспользуемся способом перестановки индексов, в соответствии с которым:

.

Тогда

кН.

Теперь составляем остальные уравнения равновесия:

кН.

кН.

кН.

Итак, в результате решения задачи, получено:

и имеют направления, противоположные указанным на рис.15.26 (для остальных сил направления соответствуют первоначально принятым).

Обоснование «применяя к рассмотрению принцип освобождаемости от связей» применено многократно. С целью сокращения письма оно в дальнейшем будет опускаться.

72

П

К условию примера 15.6

РИМЕР 15.6.- На произвольную простр.

систему сил; иллюстрирована простота решения за счёт удачного выбора осей

Дано: плита весом кН удержи-вается в равновесии с помощью стержней 1, 2, 3, 4, 5 и 6 (рис.15.27); м, м, м; действующие на плиту силы: кН и кН.

Определить усилия в стержнях.

Р

Рисунок 15.27

К решению примера 15.6

15.28

ешение.- Принимаем к рассмотрению плиту (см. рис.15.28). Изображаем все действующие на неё силы. Заранее установить для всех стержней какой из них сжат, какой растянут, невозможно. По этой причине реакции направляем в предположении растянутости этих стержней, а затем, используя приём отрицательного модуля, уточним.

Вначале попробуйте решить задачу самостоятельно, используя основную форму уравнений равновесия (как это было сделано в примере 15.5).

Е

Рисунок 15.28

сли Вы это сделаете, то заметите, что ниже приведенное решение существенно более простое.

Обращаем внимание, что в приведенном решении синусы и косинусы выражены через отношения катетов к гипотенузам соответствующих треугольников и что м.

кН.

кН.

Из находим, что и учитываем это в ниже следующем уравнении равновесия:

Откуда

кН.

73

В следующем уравнении при вычислении момента силы её удобно перенести по линии действия в точку Е и разложить по осям и .

Откуда:

кН.

кН.

Итак, стержни 1 и 4 растянуты; 2, 3, 5 и 6 сжаты. Усилия в них равны, соответственно: 200 и 1900; 1000, 2500, 1000 и 1000 кН.

В примере 15.6 при составлении уравнений равновесия брались оси, принадлежащие различным системам отсчёта, что позволило получить решение задачи существенно более простое, чем при использовании одной тройки осей. Такие задачи, допускающие удачный выбор осей, широко распространены в инженерной практике, но в общем случае рассчитывать на подобную простоту не следует.

В общем случае можно рассчитывать лишь на возможность выделения из системы 6-ти уравнений равновесия подсистемы 3-х линейно независимых уравнений с тремя неизвестными;

например, можно находить 3 не совпадающие друг с другом и не лежащие в одной плоскости оси, каждая из которых пересекает линии действия одних и тех же трёх неизвестных, не параллельных друг другу сил. Но поиск подобных осей приводит к своим сложностям. Поэтому подход к решению наиболее сложных задач на равновесие тел, находящихся под действием произвольной пространственной системы сил, рассмотрим на примере 15.7.

П

К условию примера 15.7

РИМЕР 15.7*.- На произвольную прост-

ранственную систему

сил, сложный случай

Д

Рисунок 15.29

ано: изображённое на рис.29 тело находится под действием трёх сил ( , вес ) и удержива-ется в равновесии с помощью стержней 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Стержни с взаимодейству-ющими с ними телами соединены сфери-ческими шарнирами, а их положение опи-сано в таблицах 15.1 и 15.2.

74

Табл.15.1 к примеру 15.7 - Координаты точек тела

	О	А	В	С		D	E	H	K
x, см	0	0	0	0	80		80	40		0
y, см	0	30	70	100	100		20	50		70
z, см	0	20	20	-10	-10		-10	20		0

Табл. 15.2 к примеру 15.7 - Направляющие косинусы для реакций стержней

	Номера стержней
	1	2	3	4	5	6
x
y
z

К решению примера 15.7

Определить усилия в стержнях.

Решение.- Принятое к рассмотрению тело и все действующие на него силы изображаем на рис.15.30. Т.к. направляю-щие косинусы связаны соотношением

15.29 , то

.

Аналогично вычисляем остальные неизвестные направляющие косинусы:

Рисунок 15.30

15.30

.

Составляем уравнения равновесия (оси указаны на рис.15.30).

75

.

Т.е. получена следующая расширенная матрица системы шести уравнений с шестью неизвестными:

Используя стандартные программы компьютерной техники, получаем:

Вначале решения задачи принималось, что все стержни растянуты. В результате полученного решения видим:

стержни 2 и 5 растянуты; 1, 3, 4, 6 - сжаты.

С целью проверки правильности компьютерного решения системы уравнений, полученные результаты подставляем в составлявшиеся уравнения равновесия и вычисляем невязки (разности между левыми и правыми частями).

При правильном решении свободные члены должны на несколько порядков превышать невязки. В рассматриваемом примере так оно и есть. Поэтому полученное компьютерное решение системы уравнений равновесия доверительно.