27.3. Закон сохранения количества движения

Первая форма:

е

27.8а

сли главный вектор всех внешних сил, действующих на механическую систему, равен нулю, то её количество движения является постоянной во времени величиной.

Вторая форма:

е

27.8б

сли сумма проекций на какую-либо ось (например) всех внешних сил, действующих на механическую систему, равна нулю, то проекция количества движения этой механической системы на рассматриваемую ось является постоянной во времени величиной.

Результат 27.8а является простым следствием из 27.6 (получается через операцию интегрирования). Аналогично, 27.8б - есть следствие из проекции на ось векторного равенства 27.6, т.е. является результатом интегрирования выражения

.

27.8а и 27.8б можно было получить и из закона инерции. Рекомендуем студентам увидеть это самостоятельно.

27.4. Исторический аспект

Доверие к теоретически полученным результатам 27.5-8 основано на более, чем трёхвековой проверке их справедливости. Это зафиксировано, в частности, историей длительных и жарких полемик лейбницианцев с картезианцами (Г.Лейбниц и его последователи – с одной стороны и Р.Декарт со своими последователями – с другой стороны). Но суть споров сводилась не к вопросу о неправильности одного положения и правильности другого, а к вопросу о том, какое из положений главнее. Например, Иоганн Бернулли (1667-1748), как последователь Лейбница, теорию соударения строил на 3-х законах - 2-м был «закон сохранения количества движения», 3-м - «закон сохранения живых сил» (живая сила – это ); главным считался 3-й закон. Декарт же и его последо-ватели главным считали закон сохранения количества движения в природе. Т.е. вопроса о несоответствии опытным данным теоретических предсказаний, получаемых из закона сохранения количества движения, не было. К сведению:

213

в настоящее время закон об изменении количества движения также не считается главным – в подавляющем большинстве учебников (в том числе и в данном «Курсе») он является следствием, главным же считается ; однако это не означает, что закон об изменении количества движения является ненадёжным опорным фактом теоретической механики.

У Ньютона в «Математических началах» (1687 г.) вторым законом-аксиомой является - «Изменение количества движения пропорционально движущей силе и происходит по той прямой, по которой эта сила действует», т.е. в переводе на сегодняшнюю символику - это практически описание результата 5.

Итак, несмотря на широкое и более чем трёхвековое использование закона об изменении количества движения в расчётной практике, среди специалистов до сих пор не появлялось таких, которые бы ставили под сомнение надёжность получаемых из него результатов.

27.5. Рядовые примеры на применение Закона об изменении количества движения

ПРИМЕР 27.1.- Определение скорости бросания тела вверх

Дано. – Время от начала вертикального полёта тела до точки его возврата (когда ) . Сопротивлением воздуха пренебречь.

Определитьскорость , с которой тело брошено вверх.

Решение.- Записываем интегральную форму математического выражения закона об изменения количества движения применительно к рассматриваемой задаче:

.

При этом, ;;.

Поэтому .

Очевидно, что скорость направлена вверх, силавниз.

Проектируя составленное векторное равенство на вверх направленную ось, получаем:

м/с .

ПРИМЕР 27.2.- Определение сопротивления движению транспортного средства

Дано. – У корабля, массой т, остановили ходовой винт и заметили, что за время минута скорость снизилась с км/час до км/час.

214

Определитьсреднее сопротивление () движению корабля в диапазоне скоростей км/час.

Решение.- Записываем интегральную форму математического выражения закона об изменения количества движения применительно к рассматриваемой задаче:

а

.

При этом, ;.

Считаем, что скорости инаправлены слева-направо; ясно, что тогда векторследует направить справа-налево. Проектируем векторное равенство(а) на направленную вправо горизонтальную ось; при этом учитываем, что(сила тяжести) и(выталкивающая сила) направлены вертикально:

Задание для самостоятельной работы:придумайте и опишите методику, с помощью которой вы установите зависимость сопротивления движению моторной лодки от скорости её движения -?

ПРИМЕР 27.3.- Определение скорости движения сцепленных вагонов

Дано. – В одном направлении движется 4 вагона со скоростями: м/с – у головного вагона; м/с - у вагона, следующего за головным; м/с - у третьего вагона и м/с - у хвостового вагона. Их массы (с учётом находящихся в них грузов): и тонн.

Определитьскорость состава из 4-х вагонов после их сцепки. Трениями и сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение.- Пусть количество движения системы из 4-х вагонов до их сцепки; количество движения первого вагона, второго, третьего и хвостового вагонов. В соответствии с вводившимися понятиями

Эти же величины, но после сцепки вагонов, обозначаем двумя штрихами -

215

На вагоны действуют веса и реакции рельс. Они вертикальны. Скорости, а потому и количества движения, считаем направленными слева-направо.

Векторное равенство

проектируем на горизонтальную ось (на направление скоростей) и получаем:

м/с .

ПРИМЕР 27.4.- Определение ударной силы шарика

Дано. – Вертикально падающий шарик ударяется о горизонтальную плиту и отскакивает. Масса шарика г. Модули скоростей в начале и конце удара: м/с, м/с . Продолжительность удара .

Определитьсреднюю (за ) ударную силу шарика.

Р

К примеру 4

ешение.- .

Проектируем составленное векторное равенство на направление силы :

Рис.1

Ответьте на вопрос: «почему в составленном векторном уравнении отсутствует сила тяжести»?

Главное назначение рассмотренного примера – иллюстрация применения закона об изменении количества движения. Вместе с тем замечаем: удар – это часто встречающееся в жизни явление, со своими сложностями, многими экспериментально определяемыми величинами и разработанными методиками подходов к решению конкретных задач. Углублённое его изучение можно начать,

216