26.7. Рядовые примеры, иллюстрирующие применение закона о движении центра масс в произвольной системе отсчёта

П

К условию примера 26.1

РИМЕР 26.1.-Определение частоты колебаний шарика, подпружиненного внутри вращающейся трубки

Д

Рисунок 26.3

К решению примера 26. 1

Рисунок 26.4

ано. - Горизонтально расположенная трубка равномерно вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью (см. рис.26.3). Внутри трубки размещена пружина, жёсткостью . Один конец пружины прикреплён к внутреннему торцу трубки, а к свободному её концу присоединён шарик, массой . При недеформированной пружине центр шарика расположен на оси вращения (совпадает с точкой ).

Определитьчастоту колебаний шарика относительно трубки. Трением пренебречь.

Решение.- С продольной осью трубки связываем ось , начиная её в точке . Для шарика на рис. 4 изображаем кинематическую и силовую картину, где:

- вес шарика; и - действующие на него упругая () сила и реакция стенок трубки. и - скорость и ускорение центра шарика относительно трубки.

- модуль нормальной составляющей переносного ускорения центра шарика (материальной точки массой ).

- нормальная составляющая переносной силы инерции.

Касательная составляющая переносной силы инерции равна нулю - по той причине, что трубка вращается с постоянной угловой скоростью.

- кориолисово ускорение. - кориолисова сила инерции.

В соответствии с законом о движении центра масс относительно неинерциальной системы отсчёта (в рассматриваемом примере связана с трубкой) записываем:

.

Проектируем составленное векторное равенство на ось и получаем:

.

209

Откуда: , где

а

.

Итак, при частота колебаний шарика относительно трубки определяется зависимостью(а): при шарик относительно трубки, как ясно из примеров 4 и 5 предыдущего раздела, будет неподвижным - сжавшим пружину до предела, или растянув её и упёршись в противоположный внутренний торец трубки.

П

К условию примера 26.2

г

РИМЕР 26.2.-Кинематическое условие, обеспечивающее неподвижность гладкого бруска относительно треугольной призмы

Дано. - На треугольной призме расположен гладкий брусок (см. рис.26. 5).

О

Рисунок 26.5

пределитьускорение , с которым необходимо перемещать треугольную призму, чтобы находящийся на ней брусок покоился.

Решение.- Записываем для бруска условие относительного покоя:

.

Проектируем его вначале на ось , затем на . Получаем:

;

.

После деления второго выражения верхней строки на второе выражение нижней строки, получаем:

.

210

27. Закон об изменении количества движения

27.1. Необходимые для описания закона понятия

В

27.1

27.3

еличину называют количеством движения -той частицы (где и - её масса и скорость), а

27.4

- количеством движения механической системы (где символом “” учтены все частицы системы).

В разделе 2 вводилось понятие центра масс системы –

.

После взятия от этого равенства производной по времени, получаем:

.

Таким образом:

- количество движения

27.1а

механической системы может вычисляться как количество движения отдельной точки, масса которой равна массе рассмат-риваемой системы и которая движется вместе с её центром.

П

27.5

усть- время, а- силы, действующие на принятую к рассмотрению механическую систему.

Называют:

27.2а

-

элементарным импульсом -той силы;

27.2б

-

импульсом -той силы за конечный промежуток времени

(в приведенной математической записи - за промежуток времени между моментами и );

27.2в

27.7

-

главным импульсом действующих на систему сил за конечный промежуток времени (если иметь ввиду математические записи из 27.2б, то - за промежуток времени между моментами и ).

211

Представляем студентам возможность самостоятельно получить результаты:

2в

, где

- главный вектор действующих на систему сил;

при постоянных силах выражения2б и3 приобретают вид:

.

27.2. Основные формы математического описания закона об изменении количества движения

Т.к. масса – постоянная во времени величина, то из закона о движении центра масс получаем:

.

- это основная форма математического описания закона об изменении количества движения - в инерциальной системе отсчёта производная по времени от количества движения механической системы равна главному вектору всех внешних сил, действующих на эту систему.

М

27.6

атематическую записьназывают дифференциальной формой математического описания закона об изменении количества движения.

Интегрируя последнее математическое выражение в пределах от до , получаем:

-

это интегральная форма математического описания закона об изменении количества движения, где и- количества движения механической системы в моменты времени и .

212

При решении учебных задач чаще встречается интегральная форма закона об изменении количества движения.

Тройки скалярных эквивалентов векторным уравнениям 5, 6 и 7 рекомендуем студентам записать самостоятельно (и этим проверить степень усвоенности многократно встречавшегося метода проектирования векторных равенств на оси).