1 15.45. Равновесие тел

15.1. Уравнения равновесия

Как уже было определено, для уравновешенной системы и; причём, главный моментравен нулю независимо от центра, относительно которого он вычислялся.

С другой стороны:

;

Замечание: как здесь, так и в дальнейшем, с целью сокращения записей пределы суммирования будем опускать.

Таким образом, для находящегося в равновесии тела:

Подкоренные выражения состоят из сумм квадратов действительных чисел и поэтому ясно, что равенстваа могут иметь место лишь в случаях:

15.1, ,;

15.2 15.5, ,.

М

15.6

атематические выражения 15.1 называютуравнениями проекций, 15.2– уравнениями моментов.

Совокупность уравнений проекций и уравнений моментов называют уравнениями равновесия (для произвольной системы сил, стандартная форма).

У

15.7

равнения 1 и 2 словами описывать принято примерно так:

у

15.8

равнения проекций - «сумма проекций (на такую-то ось, например на) всех приложенных (к такому-то телу) сил равна нулю»;

уравнения моментов - «сумма моментов относительно оси (такой-то, например относительно оси ) всех приложенных (к такому-то телу) сил равна нулю».

У

15.9

равнения равновесия обычно составляют с целью определения неизвестных сил. При этом, полезно иметь ввиду:

н

15.3

15.10

еизвестная сила, расположенная перпендикулярно оси, не входит в уравнение проекций на эту ось;

57

неизвестная сила не входит в уравнение моментов, если линия её действия параллельна, либо пересекает ось, относительно которой момент вычисляется.

Одна тройка взаимно перпендикулярных осей, особенно наугад взятая, чаще всего даёт сложную в решении систему уравнений (даёт нераспадающуюся систему 6 уравнений). Но нет запрета дополнить её уравнениями равновесия, составленными для других систем координат, отличающихся от первой и учитывающих свойства 15.3-15.4.

В расширенной указанным способом системе уравнений обычно обнаруживаются уравнения с одной неизвестной, либо обнаруживаются подсистемы двух уравнений с двумя неизвестными, что существенно облегчает решение конкретных задач.

Возникают интересные, с точки зрения облегчения расчётов, вопросы:

• какое максимальное количество неизвестных позволяют определить составленные в большом количестве уравнения равновесия?

• к

  а

  акие из них целесообразнее всего использовать для определения неизвестных?

Отвечать на поставленные вопросы можно путём анализа ранга матрицы, составленной по коэффициентам уравнений равновесия. Подробнее с этим вопросом можно ознакомиться в учебном пособии: «Игнатищев Р.М. Теоретическая механика. Статика.- Могилёв: ММИ, 1978.- С.50-56». Здесь же ограничимся приведением лишь основных результатов этого анализа.

При произвольной пространственной системе сил:

число линейно независимых уравнений равновесия, составленных для одного тела, не может быть больше шести и, поэтому, если число входящих в уравнения неизвестных превышает число 6, то все их определить не удасться, сколько бы уравнений вы не составили;

число линейно независимых уравнений проекций для одного тела не может быть больше трёх;

если оси, относительно которых записывают уравнения моментов, пересекаются в одной точке, то число линейно независимых уравнений моментов не может быть больше трёх;

в случаях 15.6 и 15.7 перпендикулярность осей не обязательна;

вслучае параллельных осей можно составить лишь 3 линейно независимых уравнений моментов; причём, эти оси нельзя располагать в одной плоскости (в противном случае линейно независимых уравнений моментов окажется лишь 2);

вслучае двух систем координат с несовпадающими плоскостями, параллельность допустима, линейно независимыми оказываются все шесть уравнений моментов.

58

Д

15.11

ля тел, находящихся под действием системы сил, линии действия которых совпадают, может быть составлено лишь одно уравнение равновесия; проще всего -, где- ось, совпадающая с линией действия названной системы сил.

Другие уравнения в своих первоначальных написаниях окажутся сложнее, но после соответствующих преобразований будут упрощены и доведены до рекомендованных; но зачем эти дополнительно-преобразовательные операции?

Д

15.12

ля тела, находящегося под действием плоской сходящейся систе-мы сил, может быть составлено лишь два линейно независимых уравнений равновесия; проще всегои, гдеи- любые непараллельные (не обязательно взаимно перпендикулярные) оси, расположенные в плоскости действия сил.

Д

15.13

15.16

ля тела, находящегося под действием пространственной сходя-щейся системы сил, можно составить лишь три линейно независи-мых уравнений равновесия; проще всего,,, где- произвольные оси, которые при параллельном своём переносе в одну точку образуют трёхгранник.

Часто выгодными (по соображениям получения более простых выражений) являются не взаимно перпендикулярные оси.

Д

15.14

15.17

ля тела, находящегося под действием пространственной системы параллельных сил, можно составить не более трёх линейно независимых уравнений равновесия; проще всего,,, гдеи- непараллельные друг другу оси, расположенные в плоскости, перпендикулярной линиям действия сил; осьпараллельна линиям действия сил.

К

15.18

огда рассматривают плоские системы сил (в учебном процессе с ними чаще всего и приходится иметь дело), то пользуются понятием «момент силы относительно точки». Обозначения: , или(момент-той силы относительно точки А).

П

15.19

од моментом силы относительно точки понимают взятое со знаком «+» или «-» произведение модуля силы на кратчайшее расстояние () от взятой точки А до линии действия силы, т.е.

15.15

.

Понятие «момент силы относительно точки» пояснено рисунком 15.1. На нём иллюстрированы оба (и «плюс» и «минус») возможных случая:

59

П

К понятию о моменте силы относительно точки

Рисунок 15.1

ри этом, удобно использовать механический образ: изображение тела мысленно представляется в виде куска картона с отверстием в точке, относительно которой вычисляется момент. Изображение тела отверстием надето на мысленно вбитый в стол гвоздь без шляпки. Если сила (одиночно действующая - без учёта остальных сил) поворачивает изображение тела против хода часовой стрелки, то момент считается положительным; в противном слу-

чае (на рис.15.1 сила ) - отрицательным. Кратчайшее расстояние от точки, относительно которой вычисляется момент, до линии действия силы называют плечом (на рис.15.1:- плечо силы,- плечо силыотносительно точки А).

Д

19

ля тела, находящегося под действием плоской системы параллельных сил, можно составить лишь два линейно независимых уравнения равновесия; проще всегои, где- ось, параллельная линиям действия сил, А – точка на линии действия одной из неизвестных сил.

Для тела, находящегося под действием произвольной плоской системы сил можно составить лишь три линейно независимых уравнений равновесия. При этом. принято различать три формы таких уравнений:

первая -,

и - произвольные (в плоскости действия сил), взаимно непараллельные оси; А - произвольная в этой плоскости точка.

вторая форма -,

- произвольная (в плоскости действия сил) ось; А и В - произ-вольные в этой плоскости точки с одним ограничением -

- АВ не ;

третья форма -,

А, В, С - произвольные в плоскости действия сил точки, с тем ограничением, что не должны располагаться на одной прямой.

Пренебрежение ограничением приведёт к тому, что из трёх составленных уравнений линейно независимыми окажется лишь два.

60