1 К методу, применённомудля получения законов сложения скоростей и ускорений9.2. Закон сложения скоростей

На рис.2: - неподвижная, - подвижная и - вспомогательная системы отсчёта;М– произвольно перемещающаяся точка (и относительно неподвижной, и относи-тельно подвижной систем отсчёта);Е- произвольная точка подвижной системы;А, В, С- концы ортов , и подвижной системы;Р– полюс (это начало вспомогательной системы;Рво времени совмещён с началом подвижной системы).

П

Рисунок 19.2

одвижная система относительно

вспомогательной совершает сферичес-кое движение. В соответствии с приня-

тыми обозначениями - угловая скорость этого движения.

а

,

-

- это выраженные через составляющие радиус-векторы неподвижной системы отсчёта для точек М иЕ(исходящие из её начала и разложенные по её же осям).

Радиус-векторы подвижной (номер 2) системы отсчёта для тех же точек М иЕ:

б

,

.

От математических равенств (а) и (б) будем брать производные по времени. Но перед этим заметим:

1. Производная от вектора зависит от системы отсчёта, в которой находится исследователь. Поэтому будем различать «собственные» и «несобственные» векторы. Собственный – это вектор, разложенный по осям системы, в которой расположен исследователь. Если же вектор разложен по оcям другой системы отсчёта (другой по отношению к месту расположения исследователя), то это несобственный вектор;

126

2. Теория относительности А.Эйнштейна обязывает учитывать различное течение времени и различные оценки расстояний между двумя точками для исследователей, расположенных в различных системах отсчёта. В связи с этим:

п

в

ри взятии производных от несобственных векторов их обозначения, например , будем дополнять круглыми скобками и за их пределами на месте нижнего индекса указывать имя системы, являющейся местом нахождения исследователя - . Чтобы не усложнять записи, для собственных векторов этого делать не будем, например, вместо будем писать проще – ;

аксиома (ограничительная - ограничивает максимально возможные скорости объектов, превышение которых обязывает учитывать различия в течении времени и различия в оценках расстояний наблюдателями различных систем отсчёта):

п

19.1

ри скоростях, значительно меньших скорости света (для определённостипринимаем, что прискоростях меньших 1000 км/с),время и расстояния между точками одинаковооцениваютсянаблюдателями всех систем отсчёта (неподвижной,подвижной и вспомогательной).

В соответствии с принятой аксиомой будем иметь ввиду:

просто;просто;

просто; и т.д.

Учитывая принятые обозначения, берём производные по времени от математических выражений (а) с позиций исследователя, находящегося в неподвижной системе (поэтому орты - постоянные во времени величины):

г

;

аналогично ;

;

.

127

Теперь берём производные по времени от первого равенства в (б) с позиций наблюдателя, находящегося в подвижной системе. Для него - постоянные во времени величины и, поэтому:

д

;

.

Переходим к взятию производной по времени от с позиций наблюдателя, находящегося в неподвижной системе отсчёта. Для него переменны во времени не только координаты , но иорты . Получаем:

,

или, учитывая (д) -

.

Вспомогательная система отсчёта движется поступательно относительно неподвижной. Не нарушая общности рассуждений можно считать их оси взаимно параллельными. Поэтому проекции ортов на одноимённые оси неподвижной и вспомогательной систем одинаковы как функции времени (,,), что даёт основание последнюю математическую зависимость записать в форме:

е

.

С позиций наблюдателя, находящегося во вспомогательной системе отсчёта, подвижная система совершает сферическое движение. Причём, - это радиус-векторы точекА, В и С (см. рис.2), т.е. ; и начинаются они в полюсеР. Это, на основании 19.19, позволяет записать:

128