18.3.3. Ускорения точек сферически движущегося тела

. Итак, получена

в

18.22

екторная формула, выражающая ускорения точек сферически движущегося тела через угловые скорость и ускорение ():

.

Несмотря на то, что получена точно такая же формула, как и для вращательного движения, отличия имеются. И существенные. Рассмотрим их.

При вращательном движении тела вокруг оси вектор всё время расположен на оси вращения (если условиться его начинать из какой-либо точки этой оси), т.е. его годограф, и поэтому угловое ускорение, также расположены на

о

При сферическом движенеии не

си вращения (). При сферическом же движении вектор угловой скорости переменен, прежде всего по направлению. Поэтому

в

18.23а

ектор углового ускорения (как касательная к годографу ) при сферическом движении расположен, как фунция времени, под углом по отношению к вектору угловой скорости - см.рис.18.18.

С

Рисунок 18.18

математической точки зрения связи и идентичны, а стремление новые знания сводить к известным, приводят к формулировке:

в

18.23б

ектор углового ускорения равен скорости конца вектора угловой скорости, при условии, что его начало (на рис.18.18 - полюс) неподвижно.

Часто вектор угловой скорости сферически движущегося тела постоянен по модулю и вращается вокруг неподвижной оси (описывает поверхность прямого

120

к

Вычисление . Случай 18. 23в

ругового конуса – см. ниже пример 6). В этом случае векторможно уподобить стержню (см. рис.18.19), вращающемуся вокруг неподвижной оси с угловой скоростьюи тогда, пользуясь аналогией, можно записать:

18.23в

.

М

Рисунок 18.19

Составляющие ускорения сферически движущегося тела

атематическая одинаковость формул для вычис-ления ускорений при вращательных движениях вокруг оси и точки (формулы 18.15 и 18.22), с учётом их отли-чия по содержанию, рассмотренного в 18.23 (а-б-в), поз-воляют рекомендовать трёхшаговую процедуру вычис-ления ускорения точек сферически движущегося тела:

1. Тело предполагается в рассматриваемый момент времени вращающимся вокруг неподвижной оси, совпадающей с мгновенной осью вращения(см. рис.18.20); при таком предположении определяется нормальная составляющая ускорения – по формуле; направлена она перпендикулярнои пересекает её;называют осестремительной составляющей ускорения;

2

18.24

. Тело предполагается вращающим-ся вокруг неподвижной оси, проходящей через центр сферического движения па-раллельно; при таком предположении определяется касательная составляющая ускорения- модуль по формуле; направлена же эта состав-ляющая так, чтобы глядя навстречу век-торувидеть, что уподобленный силе вектордействует в направлении поворота тела против хода стрелки часов;называют вращательной составляющей ускорения.

3

Рисунок 18.20

. Полное ускорение точки равно сумме осестремительной и вращатель-ной составляющих -.

121

П

Кинематика конической шестерни, обегающей непод-вижное зубчатое колесо

РИМЕР 18.6.-На кинематику сферического движения тела

Дано.- Водило 1 вращается (рис.18.21) вокруг неподвижной вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ; 2 – подвижное и 3 – неподвижное конические зубчатые колёса; м; .

Определ. скорость и ускорение точки .

Р

Рисунок 18.21

ешение.- Тело 2 (шестерня) совершает сферическое движение вокруг центра , без скольжения обкатываясь по неподвижому зубчатому колесу 3. Следовательно , т.е. -

мгновенная ось вращения тела 2. В рассматриваемый момент времени точка движется в направлении зрачка читателя. Поэтому (в соответствии с 18.19) вектор направляем от к .

Модуль скорости точки , принадлежащей вращательно движущемуся телу 1:

.

Модуль скорости точки , принадлежащей сферически движущемуся телу 2:

.

Точки и совпадают во времени. Поэтому

.

Исходя из тех же результатов 18.19 и 18.21 находим скорость точки :

м/с

и направлена она перпендикулярно плоскости чертежа в сторону зрачка читателя.

Мгновенная ось вращения тела 2 и водилорасположены (в функции времени) в одной вертикальной плоскости, что позволяет заключить:

122

исходящий из точки , постоянный по модулю вектор, вращается вокруг осис постоянной угловой скоростьюи, поэтому, траекторией его конца является окружность.

Применяя результат 18.23в, находим модуль углового ускорения:

.

Направлен вектор углового ускорения (в соответствии с результатом 18.23б) перпендикулярно плоскости чертежа в сторону зрачка читателя, что на рисунке отображено значком .

Используя результат 18.24, определяем:

1. Модуль осестремительного ускорения точки

м/с² ;

направлен этот вектор по кратчайшему расстоянию от точкик мгновенной оси вращения;

2. Модуль вращательного ускорения точки

м/с² ;

расположен вектор в плоскости чертежа (перпендикулярно и, и) и, в соответствии с правилом пункта 2 результата 18.24, направлен влево-вверх;

3. Полное ускорение равно геометрической сумме осестремительной и вращательной составляющих – оказалось направленным от ки по модулю равным 3000 м/с².

123