в

.

Т.к при , то и (в) принимает вид:

г

.

В момент времени . Тогда из (г):

.

Таким образом

и для момента времени находим:

м/с;

; м/с².

П

К примеру 18.3

РИМЕР 18.3.-На преобразование вращательного движения (цилиндрическая зубчатая пара)

Дано.- Число оборотов в минуту первого зубчатого колеса об/мин; направление его вращения указано на рис.9. Число зубьев первого и второго зубчатых колёс:

м.

Определить скорость тела .

Дополнительные сведенияк исходным данным.-

В

Рисунок 18.9

теории механизмов и машин показывается (а здесь - в теоретической механике - принимается за известное): использовать следует лишь «правильные зацепления»; при правильных зацеплениях окружности, изображающие зубча-

тые колёса на рисунках (так называемые начальные окружности) обкатываются друг по другу без проскальзываний, из чего вытекает соотношение

Решение. - В соответствии с приведенными дополнительными сведениями , где

113

- скорость точки К, принадлежащей первому зубчатому колесу;

- скорость точки К, принадлежащей второму зубчатому колесу.

Без дополнительных пояснений видно:

.

Вычисляем скорость точки : м/с.

К примеру 18.4

ПРИМЕР 18.4.-Преобразование вращательного движения (конические зубчатые пары)

Дано.- Угловая скорость первого вала (так, с целью сокращения речи, принято говорить и писать, хотя имеется ввиду её модуль) - ; направление его вращения указано на рис.10. Числа зубцов изображён-ных на рисунке конических зубчатых колёс

К

Рисунок 18.10

ак и в предыдущем примере (с цилиндрическими зубчатыми колёсами) отношения радиусов можно заменять отношением чисел соответствующих зубцов.

Определитьугловую скорость третьего вала.

Решение.- Для удобства определения направления угловой скорости третьего вала в точках соприкасания ( и ) обкатывающихся окружностей ставим знаки + и ; первый представляется как вид на хвост стрелы и означает – «точка удаляется от зрачка читателя»; второй представляется как вид на заострённую часть стрелы - «точка движется в направлении зрачка читателя».

Проставив знаки + и , видим: 3-й вал вращается в том же направлении, что и 1-й. Как и в предыдущем примере:

114

18.3. Сферическое движение (иначе: вращение тела вокруг точки)

18.3.1. Примеры сферических движений из техники

Шаровой шарнир Шарнир Гука

Рисунок 18.11 Рисунок 18.12

C помощью шарового шарнира (рис.18.11) крепится рычаг переключения скоростей у многих автомобилей, фотоаппарат к треноге, стойка некоторых настольных ламп к основанию.

На рис.18.12 схематически изображён шарнир Гука. Применяется почти во всех автомобилях и тракторах - 2 шарнира Гука являются главными составляю-щими так называемого вала Кардана; позволяет передавать вращательное движе-ние между двумя несоосными валами (см. с.159). У шарнира Гука сферическое движение совершает крестовина; его центр на рисунке обозначен буквой .

Гироскоп Условное изображение

сферически движущегося тела

Рисунок 18.13 Рисунок 18.14

На рис.18.13 схематически изображён гироскоп с тремя степенями свободы. Нашёл широкое применение в качестве гирокомпасов, гировертикалей, гирогоризонталей, стабилизаторов положения и т.п. Подробнее о нём речь будет вестись в динамике.

115

18.3.2. О степенях свободы сферически движущегося тела

Ч

18.18

исло степеней свободы твёрдого тела - это число независимых переменных (координат), однозначно определяющих его положение относительно системы отсчёта.

Вращательно движущееся тело имеет одну степень свободы – угол его поворота относительно полуплоскости отсчёта.

У поступательно движущегося тела три степени свободы - его положение определяется абсциссой, ординатой и аппликатой любой, произвольно взятой точки (обычно за такую точку принимается центр тяжести).

У сферически движущегося тела также три степени свободы. Для определения его положения могут использоваться различные тройки переменных - углы Эйлера, полётные углы (рыскания, тангажа, крена) и т.д. Два примера приведены на рис.18.15 и 18.16.

Углы трёхшарнирного, с

Углы Эйлера пересекающимися осями, соединения

Рисунок 18.15 Рисунок 18.16

На рис.18.15: ,,- углы собственного вращения, прецессии и нутации; их совокупность называют углами Эйлера, используют в небесной механике.- линия узлов (не углов!) – это полупрямая от пересечения плоскостейи.

На рис.18.16 изображено трёхшарнирное соединение с осями вращения, пересекающимися в одной точке; положение сферически движущегося тела (позиция 3) относительно неподвижной системы определяется тройкой независимых друг от друга угловых координат. Пояснение к рисунку: осьрасположена в плоскости; плоскостиисовпадают).

116

В дальнейшем, ведя речь о сферическом движении, будем иметь ввиду (если специально не оговорено), что его движение определяется углами Эйлера, т.е. будем считать, что сферическое движение определяется уравнениями

.

18.3.3. Скорости точек сферически движущегося тела

Систему координат связываем с телом; так, чтобы начало оказалось совмещённым с центром сферического движения (см. рис.15).

Из принятого с очевидностью следует:

о

а

рты- переменные во времени величины.

(переменны по отношению к наблюдателю, находящемуся в базовой системе отсчёта ; т.е. переменные по отношению к системе отсчёта, относительно которой определяется скорость);

координаты () л

б

юбой точкирассматриваемого тела - постоянные во времени величины.

Будем иметь ввиду:

в

, аналогично ;, очевидно также.

Взяв производные по времени от равенств (в), получаем:

г

;

, ,.

Исходя из понятий «скорость точки» и «проекция скорости на ось», а также учитывая (а) и (б), получаем:

;

д

;

;.

117

Вводим в рассмотрение вектор . Такой, проекции которого удовлетворяют условиям:

е

.

Тогда получаем

к

ж

инематические формулы Эйлера:

.

Вспоминая изученный в статике «способ перестановки индексов», видим, что тройка скалярных уравнений (ж) может быть свёрнута в запись

18.19

-

векторная формула для скоростей точек сферически движущегося тела.

В некоторый конкретный момент времени (в мгновение отдо,) возьмём в рассматриваемом сферически движущемся теле подмножество частиц, расположенных на прямой, проходящей через центр сферического движения и параллельной введенному вектору. Пусть расстояние от какой-либо из этих частиц (обозначим её буквой) до центра сферического движения обозначено. Её скорость:

.

Итак, в любой момент времени у сферически движущегося тела имеется проходящяя через центр его вращения прямая, скорости точек которой равны нулю.

Формула уже встречалась - при рассмотрении вращательного движения. Поэтому рассматриваемый здесь вектортакже будем называть угловой скоростью, при необходимости добавляя: «сферически движущегося тела (такого-то)».

При рассмотрении вращательного движения была и ориентированная полупрямая (с ортом ), скорости точек которой равнялись нулю. Её называли осью вращения. Почти тоже самое получено для сферически движущегося тела. «Почти». Есть и отличия:при вращательном движении ось неподвижна и начи-

118

нать её можно с любой точки отрезка, расположенного между подшипниками, в которых закреплено тело, а можно начинать и за его границами.

При сферическом же движении в различные моменты времени (отличающиеся друг от друга конечными промежутками) прямая с нулевыми скоростями точек различно ориентирована относительно тела (относительно системы отсчёта ).

П

18.20

олупрямую сферически движущегося тела, которая равны нулю, которая начинается в центре вращения и сонаправлена с вектором угловой скорости, называютмгновенной осью вращения.

К сведению: поверхность, описываемую мгновенной осью вращения относительно тела (описываемую в системе ) называют подвижным аксоидом; а относительно неподвижной (относительнопо рис.18.15) называют неподвижным аксоидом; в теории зубчатых зацеплений доказывается, что подвижный аксоид обкатывается по неподвижному без проскальзываний.

ПРИМЕР 18.5.- Иллюстрация понятия «мгновенная ось вращения» с ответом на вопрос: «почему в конструкцию автомобиля следует закладывать дифференциал?»

На рис.18.17: 1 - левое, 3 - правое задние колёса автомобиля, движущегося по закруглению радиуса ; значком указано направление движения дифференциала 2 (обычно конический – его кинематика рассмотрена в подразделе 21.2) – это устройство из зубчатых колёс, через которое вращающий момент от двигателей передаётся колёсам, обеспечивая их качение по дороге без проскаль-

К кинематике ведущих колёс автомобиля на закруглённом участке дороги

Рисунок 18.17

зываний, т.е. обеспечивая равенство нулю скоростей точек ; - центр поворота – точка пространства, оказывающаяся (при движении автомобиля по рассматриваемому закруглению) центром сферического движения и 1-го, и 3-го колёс; и - их мгновенные оси вращения, и - угловые скорости.

Если бы колёса 1 и 3 были закреплены на одной оси, то покрышки на поворотах катились бы по дороге с проскальзываниями и быстро изнашивались.

119

Формула 18.19 и проведенный её анализ позволяют дать следующую рекомендацию по определению скоростей точек сферически движущегося тела:

с

18.21

корости точек сферически движущегося тела в любой момент времени распределены как при вращательном движении, осью которого является мгновенная ось, а угловая скорость равна угловой скорости сферического движения;

пример применения результата 18.21 см. в примере 18.6.