25.8. Примеры на использование закона о движении центра масс для определения траекторий точек и взаимных перемещений частей системы

ПРИМЕР 25.10.- Вывод уравнения траектории конца падающего стержня, второй конец которого опирается на гладкую горизонтальную поверхность

Д

К примеру 25.10

ано. – Однородный стержень АВ, длиной , опирается на гладкую горизонтальную поверхность (см. рис.25.9) и удерживается в состоянии покоя с помощью нити. Затем нить перерезают и стержень начинает падать.

О

Рисунок 25.9

пределитьтраекторию конца В стержня.

196

Решение.- Согласно условию скорость и координата точки С стержня в начальный момент времени равны нулям, т.е. .

На падающий стержень действует две вертикально расположенные силы – сила тяжести и реакция пола. Поэтому:

,

т.е. точка С в любой момент времени расположена на оси . Поэтому:

Получена каноническая форма уравнения эллипса.

Итак, траекторией конца В стержня является эллипс с полуосями и .

П

К условию и решению примера 25.11

(а и б-положения системы «человек-лодка» в моменты времени и)

г

РИМЕР 25.11.-Вывод формулы для вычисления величины отплытия от берега причалившей лодки при переходе в ней человека - это пример на использование теоремы о движении центра масс для анализа взаимного перемещения тел системы. Попутная значимость примера: малоопытные на воде люди после ознакомления с данным примером приобретают умение выходить из лодки на берег сухими

Дано. - Человек подплыл в лодке к причалу; так, что продольная её плоскость симметрии расположена перпендикулярно береговой линии (см. рис.25.10). После соприкосновения с причалом (момент времени ) скорости человека и лодки погасились (стали равными нулю). После этого человек начал из точки А перемещаться в направлении к берегу и в момент времени оказался в точке D. Массы: человека - кг,

лодки - кг.АD=1м.

Определитьрасстояние , на которое отплывёт лодка от причала по причине перемещения в ней человека.

Р

Рисунок 25.10

ешение.- Действующие на систему «человек-лодка» силы вертикальны: - вес человека, - вес лодки. Вер-

197

тикальна и выталкивающая сила воды (направлена вверх). По этой причине:

а

,

где С – центр масс системы «человек-лодка».

Из (а), после интегрирования, получаем: .

Т.к. перед перемещением человека система покоилась, то .

Интегрируя последнее выражение, получаем:

б

,

где и - координаты центра масс системы «человек-лодка» в моменты времени и .

В соответствии с понятием центра масс (дано в подразделе 2.3)

в

,

г

,

где , - координаты центров масс человека и лодки в момент времени ;

, - координаты тех же точек в момент времени .

После подстановки в (б) выражений (в) и (г), получаем:

м.

Итак, если у находящегося в лодке человека отсутствует желание промочить ноги, то при подплытии к берегу ему целесообразно находиться в точке D, либо следует продольную плоскость симметрии лодки располагать под малым углом к береговой линии.

198