нии гантели прижаты к бёдрам и момент инерции системы «человек-гантели-скамья» кг м².

Требуется.– Определить угловую скорость рассматриваемой механической системы во втором её положении.

Решение.- Центр тяжести системы в обоих положениях расположен на оси вращения, реакции подшипников пересекают её. Поэтому и

об/с.

К примеру 29.2

П

29.8

РИМЕР 29.2.-Вывод формулы для вычисления углового ускорения барабана с намотанным на него тросом, к концу которого подвешен груз Дано. – На барабан 1 радиусом намотана невесомая нить, к концу которой подвешен груз 2 массой (см. рис.29.6).

Требуется.- Определить угловое ускорение барабана.

Решение.- Принимаем к рассмотрению систему «барабан-нить-груз». Её кинетический момент имеет две составляющие:.

К

Рисунок 29.6

инетический момент поступательно движущегося груза в соответствии с подразделом 29.2: .

При написании этой формулы целесообразно использовать методы статики - вектор уподобить силе и её модуль умножить на плечо вектора относительно оси - на .

Кинетический момент барабана вычисляем по формуле подраздела 29.3:

.

Итак, .

Теперь вычисляем сумму моментов внешних сил -

(реакции подшипников направлены через ось вращения , поэтому моменты от них равны нулям; единственный ненулевой момент – это момент сил тяжести, приложенных к массе ).

Итак, .

249

П

К примеру 29.3

РИМЕР 29.3.-Собственные колебания системы «шкив с перекинутым через него невесомым тросом, один конец которого через пружину соединён с неподвижным телом, а ко второму подвешен груз»

Дано. – - радиус шкива; - его момент инерции (относительно оси вращения). - масса подвешенного груза. - жёсткость пружины (см. рис.7).

Т

Рисунок 29.7

ребуется.- Определить период собственных колебаний заданной механической системы.

Решение.- Чтобы иметь меньшее количество математических преобразований, при рассмотрении всех задач на колебания рекомендуем использовать

правило принятия за начала отсчётов положений статического равновесия механических систем:за начала отсчётов координат (линейных, криволинейных, угловых) при рассмотрении колебательных движений механических систем целесообразно принимать те точки и линии систем отсчёта, с которыми в положении статического равновесия механической системы совпадают её метки.

Поясняем (см. рис. 29.7):

А – горизонталь системыотсчёта, на которой расположен центр тяжести груза принедеформированной пружине;

В – горизонталь системы отсчёта, на которой расположен центр тяжести груза при статическом равновесии рассматриваемой механической системы. Этот уровень и принят за начало отсчёта числовой оси ;

М – текущее (в процессе колебаний) положение центра тяжести груза;

ОD, ОЕ и ОН – положения радиуса-метки на шкиве при, соответственно, недеформированной пружине, в положении статического равновесия и в текущий момент времени.

В положении статического равновесия (это положение, которое занимает механическая система после полного затухания имевших место колебаний) пружина окажется растянутой на некоторую величину ; её называютстатической деформацией пружины,определяют по закону Гука - из равенства: ; - это натяжение нити при отсутствии в системе колебаний; из условия равновесия принятой к рассмотрению системы «шкив+охватывающая его нить (без пружины)+груз» следует, что .

В процессе колебаний (в некоторый произвольно взятый момент времени) пружина окажется деформированной на величину . Понятно, что если пренерегать массой пружины и нити (это обычное допущение), то натяжение нити

250

окажется определяемым по формуле (по закону Гука): .

Для решения задачи воспользуемся законом об изменении кинетического момента в форме: .

При этом, из предыдущей задачи видим:

но появляется знак минус (правило прежнее – из статики: если уподобленный силе вектор направлен так, что от одиночного его действия тело будет поворачиваться против хода стрелки часов – плюс; по ходу - минус).

.

Итак, получаем:

Или, с учётом того что , а :

29.9

, где .

Напоминаем, что подобное уже встречалось – см. с.179, 185 и 210. Проверьте себя: «как называется величина »? Выражение для периода колебаний напишите самостоятельно.