25.5. Примеры, иллюстрирующие первую основную задачу динамики

ПРИМЕР 25.1.- По известной массе материальной точки и уравнениям её движения в инерциальной системе отсчёта, заданным в координатной форме, определить действующую силу

Дано. - кг; . В написанных формулах - в секундах, углы - в радианах, координаты - в метрах.

Определить силу , под действием которой происходит описанное движение.

Решение.- Используя дифференциальные уравнения движения 7, получаем:

, Н;

, Н;

, Н.

Итак, .

ПРИМЕР 25.2.- Равномерное движение материальной точки по окружности

Дано. - Масса материальной точки - (кг). Радиус окружности - (м).

Определить силу , под действием которой происходит описанное движение.

Решение.- .

182

25.6. Примеры, иллюстрирующие вторую основную задачу динамики

ПРИМЕР 3.- Разгон пассажирского поезда - это пример на определение движения центра масс в случае, когда главный вектор внешних сил является функцией времени. Вспомогательная значимость примера. – Это пример, иллюстрирующий наличие у инженеров возможностей своей деятельностью подтверждать уважительное отношение к принципу «Человек – высшая ценность общества и государства, надо постоянно улучшать условия его жизни» (принцип провозглашён «Всеобщей декларацией прав человека»; записан и в Конституции Республики Беларусь).

Дано. - С целью обеспечения высокой комфортности поездки пассажиров при разгоне поезда целесообразно соблюдать условие плавного изменения ускорения. Пусть, по этим соображениям, автоматическим регулятором обеспечивается изменение движущей силы по закону

Участок пути горизонтален. Масса поезда т. Максимальное ускорение . Скорость в конце разгона м/с.

Определить время и путь разгона, а также значения переменных и (необходимые для установки на регуляторе).

Решение.- Дифференциальное уравнение движения центра масс

а

,

из которого видно, что ускорение максимальным будет в тот момент времени, когда косинус примет значение (-1), а это имеет место при , т.е. из(а) получаем: по условию кН.

Берём 1-й интеграл от (а):

В начале разгона

Таким образом

б

183

В конце разгона по условию. Поэтому

Откуда:

Теперь берём второй интеграл от дифуравнения (а), т.е интегрируем дифференциальное уравнение (б):

В начале разгона и, поэтому,

Таким образом, закон движения поезда описывается уравнением:

в

Т.к. в конце разгона то из (в) получаем:

м.

ПРИМЕР 25.4.- Доска на противоположно вращающихся барабанах. Силами трения сжимается - это пример на определение движения центра масс при силах, являющихся функцией координаты; характер движения устойчивый. Вспомогательная значимость примера – показ инженеру простого устройства для экспериментального определения коэффициентов трения скольжения

Дано. - Механическая система к примерам 25.4 и 25.5 изображена на рис.25.4 и 25.5. В примере 25.4 рассматривается случай, когда барабаны вращаются в направлениях, указанных сплошными круговыми стрелками и . Коэффициент трения скольжения между доской и барабанами . При м; м. Вес доски - .

184