25.4.2. Законы движения свободно падающих

и скользящих по наклонным желобам тел

С

К свободно

падающему телу

вободно падающее тело

Дано. - На рис.25.1 изображено тело А, весом G, которое после перерезания нити падает вниз.

S – ось отсчёта, О – её начало. М – положение падающего тела в произвольный момент времени t.

Определитьзависимость проходимого телом пути от времени.

Решение.- Основное уравнение динамики точки в проекции на ось S принимает вид

Рисунок 25.1

.

Для моментов времени и : .

Т.е. получаем:

25.7

.

К скольжению тела по наклонному жёлобу

Скольжение тела по

гладкому наклонному жёлобу

Д

Рисунок 25.2

ано. - На рис.25.2 изображено тело, движущееся по наклонному жёлобу. - его сила тяжести, - нормальная, действующая со стороны жёлоба реакция. S – ось отсчёта, О – её начало. При .

Определитьзависимость проходимого телом пути от времени.

Решение.- Основное уравнение динамики точки применительно к рассматриваемому случаю имеет вид

.

Проектируя записанное векторное равенство на ось , получаем

177

и затем, после взятия 1-го и 2-го интегралов: .

Откуда, как и для свободно падающего тела, получаем соотношение 25.7.

В 16 веке правильность отображения соотношением 25.7 движения свободно падающих тел и тел, движущихся по гладким наклонным желобам, была далеко не очевидной. Так, известный итальянский учёный Джамбатиста Бенедетти (1530-1590) в «Книга различных математических и физических рассуждений» (1585г.) считал, что скорость падения свинцового шара должна быть в 11 раз больше деревянного, а Рено Декарт в своих записях примерно 1620 года приводил вместо 25.7 соотношение

.

В трактатах того времени встречалось и соотношение 25.7, но оно приводилось в завуалированном виде и, главное, без доказательств.

Дать доказательства правильности описания формулой 25.7 движения свободно падающих и движущихся по наклонным желобам тел удалось лишь Галилео Галилею – в его «Беседы и математические доказательства ...» (1638 г.). При этом, заметим: опыты Галилея с бросанием тел с Пизанской башни (примерно 1589-1592 годы) не дали ему надёжных результатов – по причине отсутствия точных измерителей коротких промежутков времени; но он нашёл выход из положения – перешёл на опыты с бронзовым шариком, скользящим вдоль гладкого жёлоба на наклонённой под различными углами к горизонту доске. Хотя промежутки времени по-прежнему измерялись количеством вытекавшей из сосуда воды, их удалось удлинить примерно в 5-15 раз, что, в сочетании с возможностью менять угол наклона, оказалось достаточным для получения надёжных экспериментальных данных.

25.4.3. Математический маятник

Простой математический маятник – это подвешенная на нити материальная точка – см. рис.3, где О – точка подвеса; - длина математического маятника; - угловая и - окружная координаты; - вес и - масса материальной точки (); - натяжение нити и - орт подвижной касательной.

178

О

К вопросу о движении математического маятника

сновное уравнение динамики применительно к математическому маятнику:

.

Проектируем составленное векторное уравнение на подвижную касательную-

.

Учитываем известную из элементарной матема-тики связь

и получаем:

25.8

где

Н

Рисунок 25.3

есмотря на простоту записи, полученное дифференциальное уравнение в элементарных функциях неразрешимо (т.е. точное его решение не может быть представлено конечным числом сочетаний элементарных функций).

Если говорить об инженерной значимости, то на практике чаще всего встречается случай так называемых малых колебаний математического маятника. Пока его и будем иметь ввиду.

представляем разложенным в степенной ряд -

Ряд знакопеременный и убывающий, а из математического анализа известно, что в этом случае погрешность от пренебрежения бесконечной совокупностью членов отброшенной части ряда не превышает значения первого его члена, т.е. с погрешностью, не превышающей можно записать:

25.9

Математическое выражение 25.9 называют канонической (простейшей, стандартной) формой дифференциального уравнения свободных колебаний, приёмы исследования которого уже излагались – в курсе высшей математики. Здесь ограничиваемся написанием лишь его решения:

179

25.10

.

Постоянные определяем из начальных условий (при). При этом учитываем, что

.

Тогда: .

.

Откуда: .

Итак, период малых колебаний математического маятника определяется выражением

25.11

.

Главной задачей подраздела является показ обучающимся, что излагаемые методы являются, если образно выражаться, тем строительным материалом, который позволяет сооружать надёжные мостики теоретических переходов от одних описаний механических явлений к другим; к такого качества описаниям, которые дают почти 100-процентную уверенность в том, что теоретический прогноз совпадёт с данными опытной проверки предсказанного результата.

Чтобы обучающегося убедить в высокой надёжности предсказаний, получаемых методами теоретической механики, авторы считают целесообразным использовать для этого известные исторические примеры. Ими являлись «закон инерции» и «законы движения свободно падающих и скользящих по наклонным желобам тел». Математический маятник является ещё одним из таких примеров.

Почему средневековье оказалось богатым на исследования в области маятников? - Потому, что вопросы мореходной практики настоятельно требовали создания часов.

Известно, в частности, что часы жолудеподобной формы в 1490 году делал в Нюрнберге Петер Хеле. Примерно в то же время в Кенигсберге их делал Ганс Ионс. Но точность часов того времени (и карманных, и башенных) примерно до 1660 года была слишком неудовлетворительной (все они спешили или опаздывали не менее, чем на час в сутки).

180

И лишь благодаря проведенным серьёзным исследованиям законов движения маятников удалось неточности хода часов снизить до нескольких минут, а затем и секунд, в сутки.

В создании теории маятников заметно участие Галилея. Он, моделируя математический маятник, подвешивал к нити различные по массе и плотности шары и правильно установил независимость периода колебаний от этих факторов. Что же касается явления изохронности (изохронность - это независимость периода колебаний от начальных условий), то здесь им был получен результат, требовавший дальнейшего уточнения – он считал, что колебания математического маятника изохронны не только при малых, но и больших углах размаха.

Исследовательские работы Галилея в области колебаний маятников продолжило молодое поколение учёных. Большой вклад в решение проблемы точности часов внесли Роберт Гук и Томас Томпсон (последний – больше практик, подхватывавший новейшие научные достижения в области совершенствования часов и завоевавший, поэтому, славу лучшего часовщика мира того времени).

Но наибольшие заслуги в решении проблемы точности хода часов у голландского учёного Христиана Гюйгенса. В частности, в 1657 году он от Правительства Голландии получил патент на маятниковые часы со «свободным пуском», в 1658-м опубликовал брошюру «Часы» (с подробным описанием их конструкции), и уточнил результаты исследований Галилея относительно изохронности колебаний математического маятника, что особенно важно для нас, изучающих курс теоретической механики, т.к. этот факт является очередным локальным доказательством приемлемости методов теоретической механики.

И действительно, если повысить точность решения дифуравнения 25.8, то период колебаний математического маятника окажется определяемым не по

, а по формуле

(предоставляем студенту возможность самостоятельно разобраться с этим, широко изложенным в специальной литературе, результатом).

Возвращаясь к инженерно-практической сущности математического маятника замечаем: если размах колебаний () не превышает 45^о, то с точки зрения точности вычисления периода колебаний, погрешность от пользования простой формулой 25.11 не превышает 1%. При погрешность меньше 0,1%.

181

Одна из главных учебных задач студента: овладеть стандартным набором методов и приёмов теоретической механики. Примеров, имеющих богатую историю, подобных 3-м рассмотренным, относительно мало, ибо подавляющее их большинство (иллюстрирующих те или иные аспекты и нюансы методов теоретической механики) появилось лишь тогда, когда решение задач механики превратилось в повседневные занятия армии специалистов. Однако, это не означает, что теоретически предсказываемые результаты в приводимых далее примерах могут не соответствовать опытным данным. С этой точки зрения все они в высочайшей степени доверительны, т.е. опорный факт 1-4, с разворачиванием его в другие математические выражения через процедуры интегрирования, используется научным миром уже более 3-х веков и, в рамках применимости описанных на с.171, до сих пор не отмечено ни одного экспериментального опровержения теоретически предсказывавшимся результатам. Понятно, если эти теоретически предсказываемые результаты были корректными; ибо, к примеру, если у кого-то вдруг оказывалось, что равен не, а положим, то это в счёт не идёт.