, т.е.

.

Иначе: ,

где ,

.

В соответствии с теоремой Пифагора: .

Поэтому:

, т.е.

б

, где

.

Известно, что направляющие косинусы связаны между собою зависимостью

. Откуда:

,,

.

Приводим к нужному виду :

28.10а

.

237

Н

в

аправляющие углы не зависят от номеров частиц.

По этой причине выносим за знаки интегралов квадраты косинусов и, в соответствии с понятиями осевых моментов инерции (см. 28.1), получаем:

г

.

Теперь, учитывая (в), приводим к нужному виду :

и далее, в соответствии с понятиями центробежных моментов инерции (см. 28.2):

д

.

Справедливость формулы 28.9 доказана – это видно, если в верхнюю строчку выражений (б) подставить (г) и (д).

28.7. Понятие об эллипсоидах инерции, главных и главных центральных осях инерции

С точки зрения машиностроительных технологий несложно ось вращения относительно тела расположить так, как задаст конструктор. Но произвольно задавать эту ось нельзя, ибо вместо спокойного, бесшумного вращения тела, можно получить грохочащее устройство с недопустимыми уровнями шума, вибраций при громадных динамических нагрузках на детали.

В следующем разделе будет показано, что для предупреждения появления описанных негативных механических проявлений нужно, в частности, оси вращения принимать такими, чтобы соответствующие центробежные моменты инерции оказывались равными нулю.

Но достижимо ли это в принципе? И если достижимо, то как делать?

Путь к решению этих вопросов лежит через понятие «эллипсоид инерции».

Вводим семёрку изображений моментов инерции:

где

- осевые и центробежные моменты инерции;

238

п

28.10

ри этом, обозначения соответствуют предыдущему подразделу;

- масштабный коэффициент, обеспечивающий изображениям линейные размеры (например в миллиметрах); - аналог тем масштабным коэффициентам, которые применяют для изображения на бумаге сил, скоростей, ускорений и т.д.

Итак, изображения моментов инерции – это отрезки, по значению длин которых можно судить о значениях самих моментов инерции. Например

и можно сказать: чем больше длина отрезка , тем меньше ; при ; и т.д.

Оперирование моментами инерции не непосредственно, а через их изображения, удобно тем, что позволяет анализ свести к известной математической модели.

И

К понятию

«эллипсоид инерции»

Рисунок 28.9

зображениемомента инерциипредставляем в виде вектора, где- орт оси, произвольно ориентированной (см. на рис.9и т.д.) и проходящей через начало системы. Ясно, поэтому, что связанный (начинаю-щийся в точке) вектор , как и ось , имеет переменную ориентацию, определяемую направляющими углами. Координаты его конца обозначаем.

Выясним, какую поверхность в системе отображает конец вектора?

С целью ответа на поставленный вопрос в уравнение 28.9 вместо моментов инерции подставляем их изображения (подчинённые условиям 28.10а). При этом учитываем, что:

.

Получается:

239

.

12

И

Эллипсоид инерции

з аналитической геомет-рии известно, что уравнение 28.10 отображает фигуру, называемую эллипсоидом. Применительно к рассматриваемому случаю - «эллипсоидом инерции при точке тела»(см. рис.28.10).

и - полуоси эллипсоида. В общем случае они различны по длине. Частные случаи:сфера ();

с

Рис.28.10

фероид(одинаковы две полуоси - , или, или).

- называют осями эллипсоида. Из аналитической геометрии известно: если(осьсистемы отсчёта совпадает с осьюэллипсоида), то уравнение 28.10 имеет вид:

,

т.е. в нём .

По геометрическому смыслу отображают точки поверхности эллипсоида и не могут равняться нулю. Значит равны бесконечности находящиеся в знаменателяхи; поэтому (что видно из 28.10а), равны нулям центробежные моменты инерциии. Итак:

28.11

для тела любой формы, в любой его точке имеется свой эллипсоид инерции; его оси называютглавными осями инерции;

28.12

центробежные моменты инерции, включающие в свои обозначения главную ось, равны нулю -

пусть, например, главной осью является ; тогда, гдеи- оси, дополняющиедо декартовой прямоугольной системы координат;

240

28.13

главную ось инерции, проходящую через центр тяжести тела, называютглавной центральной осью инерции;

28.14

тело любой формы имеет, как минимум, тройку взаимно перпендикулярных главных центральных осей инерции.

Руководствуясь понятиями «главная ось инерции», «центробежный момент инерции», «ось материальной симметрии», «плоскость материальной симметрии» и «интеграл» самостоятельно докажите справедливость результатов 28.15 и 28.15.

28.15

ось ось материальной симметрии тела, если имеется, одновременно является и его главной центральной осью инерции;

28.16

если тело имеет плоскость материальной симметрии (например, кузов вагона), то любая перпендикулярная ей ось является главной осью инерции этого тела.