Следствие из 32.4а:

уравнение возможных работ: -

д

32.4б

ля любой механической системы, при любой возможной её конфигурации и на любом возможном перемещении суммарная возможная работа действующих на неё внешних, внутренних и даламберовых сил инерции равна нулю.

Напоминаем уже рассматривавшееся в разделе 30:

если механическая система состоит из абсолютно твёрдых тел и нерастяжимых нитей, а трением в трущихся друг о друга телах пренебрегается (по причине их малости во многих конкретно решаемых задачах), то внутренние силы можно не учитывать, а системы, в которых суммарные мощности (и работы) внутренних сил равны нулям, называют механическими системами с идеальными связями.

Для механических систем с идеальными связями математические выражения 32.4 принимают вид:

- общее уравнение динамики

в форме через возможные мощности;

32.5

- общее уравнение динамики

в форме через возможные работы –

для механических систем с идеальными связями, при любых возможных их конфигурациях и на любых возможных перемещениях суммарная возможная мощность (работа) действующих внешних сил и даламберовых сил инерции равна нулю.

Для механических систем, в которых отсутствует перемещение тел, действующие на частицы силы инерции равны нулю. Равны нулю мощности и работы всех внутренних сил. Мысленно выделяемые из таких механических систем подсистемы возможными движениями обладают. Применяемые к ним уравнения 4 принимают вид:

- общее уравнение статики

в форме через возможные мощности:

32.6

- общее уравнение статики

в форме через возможные работы:

для подсистем, мысленно выделяемых из механических систем с неподвижными телами суммарная возможная мощность (работа) действующих внешних сил равна нулю на любых возможных перемещениях этих подсистем.

Замечание: если ранее изученную совокупность методов решения задач статики называют «геометрической статикой», то изучаемые здесь методы решения задач статики назвают «Кинематической (или Аналитической) статикой».

297

32.4. Понятия об обобщённых координатах и степенях подвижности механических систем. Аксиома и рекомендации по выбору простейших возможных движений

Ранее, применительно к твёрдому телу, уже встречалось понятие «степень подвижности» (термин-синоним: «число степеней свободы»): у вращательно движущегося тела одна степень подвижности (); степень подвижности поступательно движущегося тела равна трём (); три степени подвижности также у плоско () и сферически () движущихся тел; степень подвижности свободно движущегося тела равна шести ().

А

Схема подъёмного крана

налогично понятие степени подвижности и для механических систем. Но формулировку этого понятия предварим рассмотрением конкретного примера - рельсового подъёмного крана с поворотной платформой. Вот некоторые из переменных, определяющих его положение:

для тележки с колёсами на рельсах - линейная координата (вдоль рельсового пути; обычно прямоли-нейная; бывает и криволинейной);

п

Рисунок 32.1

оворот платформы относительно вер-тикальной оситележки - угол;

поворот стрелы крана вокруг горизонтальной оси платформы– угол ;

длина выпущенной части троса (от груза до блока на стреле) - ;

углы между выпущенной частью троса и осями -;

угловое положение барабана лебёдки - ;

имеется у крана много зубчатых пар; положение первого зубчатого колеса одной из них определяется углом , второго -; и т.д.

Нашей целью является пояснение вводимых ниже терминов. Для этого 10-ти перечисленных переменных достаточно.

С

11

реди них:линейно связана (через передаточное отношение – через отношение чисел зубцов) с;связаны известной зависимостью -; связаны между собой такжеи-

298

, т.е. из 10-ти перечисленных в данном абзаце переменных неза-висимых только 6 (мы имеем ввиду, что также линейно выражается через).

При дальнейшем микроанализе перечисленных переменных будем учиты-вать два варианта постановки инженерно-исследовательской задачи: первый – требуется разработать рекомендации по минимизации промежутка времени на перенос груза из одной точки пространства в другую (при решении которой важное значение имеет установление законов изменения углов и);

второй вариант – установить максимально возможные динамические нагрузки (с целью их минимизации и дальнейшего учёта в прочностных расчётах).

При первом варианте в качестве независимых переменных можно задействовать . При втором явно видно, что независимые переменныеиявляются лишними (ненужными) – для выявления динамических нагрузок важно учесть моменты включения в работу двигателей и коробок скоростей (в эти моменты времени ускорения будут наибольшими; но накладываются ли они друг на друга, или нет? если накладываются, то гасят или усиливают друг друга? как избежать усиливающего наложения; и т.д.).

Хаос в обозначениях неудобен. Поэтому, отвлекаясь от разнообразных прямолинейных, угловых и криволинейных координат вводят

о

32.7

бобщённые координаты(обозначают: ) - это независимые переменные, однозначно определяющие положение принятой к исследованию механической системы и задействуемые в динамическом исследовании.

С

32.8

тепень подвижности принятой к исследованию механической системы - это число её обобщённых координат - .

32.9

Быстроту изменения обобщённой координаты при действительном движении системы называют обобщённой скоростью и обозначают ;

это понятие будет задействовано в разделе 34 – «Уравнения Лагранжа 2-го рода».

При рассмотрении возможного движения механической системы

32.10

32.14

бесконечно малое изменение переменной называютвариацией обобщённой координаты и обозначают , а соответствующий ей промежуток времени- временем вариации;

б

32.11

ыстроту изменения обобщённой координаты

называют скоростью вариации и обозначают .

299

Возвращаясь к 32.4а, как к главному результату, замечаем, что возможных движений множество. Множество можно составить и уравнений. Но «Сколько нужно их брать при решении конкретных задач? И какие»?

На этот вопрос отвечают аксиома и 2 рекомендации.

Аксиома(о числе линейно независимых уравнений динамики для механической системы):

32.12

число линейно независимых уравнений, которые можно получить из уравнения возможных мощностей (или возможных работ), равно числу степеней свободы механической системы.

Рекомендация 1.-

32.13

Проще и быстрее нужная система уравнений получается при одиночных вариациях обобщённых координат,

т.е. при решении конкретных задач целесообразно в памяти держать следующую диагональную матрицу,

где 1-й строкой описана одиночная вариация 1-й обоб-щённой координаты (все вариационные скорости равны нулям, кроме 1-й); по ней составляется 1-е уравнение;

2-й строкой описана одиночная вариация 2-й обобщённой координаты (все вариационные скорости равны нулям, кроме 2-й); по ней составляется 2-е уравнение); и т.д.,

последней строкой описана одиночная вариация обобщённой координаты S (все вариационные скорости равны нулям, кроме ); по ней составляется последнее уравнение.

В каждом (из ) составленном уравнении(либо); с соответствующими индексами -) будет вынесена за общую скобку. А так как в правых частях нули, то эти величины (, либо) «сделав своё дело», из уравнений уходят - в них остаются лишь соотношения между возможными скоростями (или перемещениями). Поэтому для(и) безразличны и абсолютная величина, и размерность (всё равно, что м/с, что мм за столетие). В связи с этимРекомендация 2:

для укорочения алгебраических записей (производимых в процессе составления уравнений) матрицу возможных движений целесообразно делать единичной - вместо дельт (), или, писать «1». Её будем

называть: «матрица возможных перемещений»

300