28. Массо-геометрические характеристики твёрдых тел

28.1. Введение в раздел

Здесь вводятся, взаимосвязываются и исследуются механические величины, через которые в последующем выражаются очередные опорные факты теоретической механики, т.е. с точки зрения формулируемых механических результатов излагаемый материал является вспомогательным. Но большой объём и востребованность для различных опорных фактов теоретической механики делает целесообразным его выделение в отдельный раздел.

Подробно ознакомиться с массо-геометрическими характеристиками можно в книгах: «Фаворин М.И. Моменты инерции тел: Справочник.- М., 1970.- 312 с.» и «Гернет М.М., Ратобыльский В.Ф. Определение моментов инерции.- М.: Машиностроение, 1969.- 247 с.». Здесь же (в «Курсе») ограничиваемся введением в вопрос, ознакомлением с основными применяемыми методами и чаще других встречающимися результатами.

2 18.2. Об инженерно-физической сущности рассматриваемых вопросов

Н

К вопросу о влиянии геомет-рии масс на кинематику механических систем

с текучей средой

а рис.28.1 изображена схема устрой-ства, доступная для изготовления студентами:

1 - стержень, вращающийся с угловой скоростью вокруг вертикальной оси 2; 3 и 4 –свободно надетые на него шары с отверстиями; 5 – зажигающаяся от пламени нить (например, хлопчатобумажная).

Е

Рисунок 28.1

сли к нити поднести пламя зажжённой спички, она перегорит, шары удалятся от оси вращения (до упоров) и явно («на глазок») будет видно, что угловая скорость стержня заметно уменьшилась.

Подобное механическое явление можно наблюдать и на экране телевизора: а) на ледовой площадке спортсмен-фигурист, чтобы достичь высокой угловой скорости соединяет ноги, выпрямляет туловище и вытягивает вверх руки, с целью же гашения скорости (в конце выступления) руки разбрасывает по сторонам; б) чтобы успеть сделать двойное, а часто и тройное сальто, спортсмен сжимается в комочек.

Из приведенных примеров видно, что на кинематику механической системы оказывают влияние не только массы, но и взаимное их расположение.

228

28.3. Основные массо-геометрические характеристики твёрдых тел и общие формулы для их вычисления

Н

К понятиям о моментах инерции тел

а рис.28.2:- произвольная, связанная с твёрдым теломдекартова прямоугольная система координат;

- масса произвольной частицы этого тела, - её абсцисса, - ордината, - аппликата; - кратчайшие расстояния от до осей соответственно .

По определению:

28.1

Рисунок 28.2

-

- осевые моменты инерции тела относительно осей соответственно ;

28.2

-

- центробежные моменты инерции тела относительно осей соответственно ; обращаем внимание на принятую условность в терминологии - «относительно» той оси (из числа 3-х - ), которая оказывается отсутствующей в обозначении центробежного момента; например - это центробежный момент инерции тела относительно оси .

Пусть - масса тела;и- расстояния до осиближайшей и наиболее удалённой частиц этого тела. Тогда, в соответствии с известной из курса высшей математики теоремой о среднем, можно записать:

28.3

где

величину называют радиусом инерции тела относительно оси .

229

Аналогичны понятия радиусов инерции тела относительно осей и -

, .

Замечания: 1. Осевые моменты инерции – арифметические величины, центробежные - алгебраические; 2. Больше приходится иметь дело с осевыми моментами инерции и для сокращения речи слово «осевой» часто опускают; во избежание путаницы, когда речь идёт о центробежных моментах инерции, сокращение в термине недопустимо.