36.4. Затухающие колебания и апериодические движения линейных систем с одной степенью свободы и вязким трением

36.4.1. Уравнение и график затухающих колебаний

Излагаемый в подразделе материал может иметь самостоятельное значение - Ш.Кулон (1736-1806) методом затухающих колебаний определял вязкости жидкостей. И всё же излагаемый в подразделе материал более нужен для рассмотрения резонансных явлений – для определения экспериментально-теоретическим способом частот собственных колебаний систем и для получения формулы, по которой вычисляют амплитуды вынужденных колебаний.

Затухающими колебаниями линейных систем с одной степенью свободы и вязким трением называют движение, описываемое дифференциальным уравнением

.

Н

Пример системы с зату-хающими колебаниями

азывают: - коэффициент затухания; - частота собственных колебаний системы.

Вслучае колебаний не будет, что рассмотрено в 4-м пункте подраздела.

На рис.36.2 изображена схема одной из конкретных механических систем, при описании динамики которой будет получено дифференциальное уравнение 36.11. Предлагаем проделать это самостоятельно. Заметим лишь: в левой нижней части этого рисунка схематически изображён демпфер. Он может иметь различные конструктивные устройства. Главное: на колеблющееся тело с его стороны действует сила сопротивления, подчиняющаяся закону: . Коэффициент часто называют коэффициентом демпфирования.

Н

Рисунок 36.2

акопленный опыт показывает: при малых скоростях имеет место вязкое трение (), при больших – турбулентное ().

Что значит «малая, большая скорость, где граница»? Это зависит от ряда факторов, но является предметом рассмотрения гидравлики. Главное: опыт показывает - в подавляющем большинстве случаев при рассмотрении колебаний встречается не турбулентное, а вязкое трение.

Дифференциальное уравнение 36.11 может точно математически описывать динамику составленной расчётной схемы (как в изображённом на рисунке 2 слу-

340

ч

36.13а

ае), а может и приближённо (теория малых колебаний превращает нелинейные дифференциальные уравнения в линейные).

По математической классификации дифференциальное уравнение 36.11 относится к линейным однородным, с постоянными коэффициентами, второго порядка, а для них ещё Эйлером предложено решения искать в форме

.

Подставив это частное решение в 36.11, получаем:

.

Из последнего выражения (характеристическое уравнение) находим:

а

.

В зависимости от соотношения ирешение разветвляется:

первая ветвь - - «малые сопротивления»;

вторая ветвь - - «большие сопротивления».

Вначале рассматриваем случай малых сопротивлений. Обозначаем и называем:

36.12

-

- круговая частота затухающих колебаний (сокращённо: частота; - буква из греческого алфавита - «каппа»).

Как известно из курса математики, общее решение уравнения 36.11 определяется линейной комбинацией полученных двух частных решений:

, где.

В соответствии с формулой Эйлера

имеем:

.

С целью дальнейшего преобразования (замена постоянных ,другими -и) подключаем к рассмотрению тригонометрическую формулуи используем изображённый на рис.3 справа-вверху прямоугольный треугольник (). Получаем:

341

-

уравнение затухающих колебаний,

у которого постоянные иопределяются из начальных условий. Выведем соответствующие формулы. Для этого вначале запишем выражение для обобщённой скорости (получаемое из уравнения13а):

б

.

Пусть при . Тогда, из13аи (б):

.

Из системы двух последних уравнений и находятся постоянные ,: