19.5. Закон о проекциях скоростей точек тела на проходящую через них прямую:

п

19.10

роекции скоростей любых двух точек тела на проходящую через них прямую равны.

Теоретический переход от предыдущего материала к закону 19.10 позволяет сделать метод проектирования векторного уравнения на ось. И действительно, пусть и- две произвольные точки свободно движущегося тела.

Приняв за полюс получаем (см. 19.9):, где, как скорость в сферическом движении телаотносительно системы, определяется по формуле.

137

Т.к. , то, после проектирования на направлениевекторного равенства, получаем 19.10.

19.6. Закон о независимости угловой скорости тела от выбора полюса

(закон о единой для тела угловой скорости):

у

19.11

гловая скорость сферической составляющей свободно движущегося тела не зависит от принятой за полюс точки.

И

К закону о единой для тела

угловой скорости

зложим метод, позволяющий теоретическим путём прийти к закону 19.11.

Пусть,и- три произволь-ные точки тела.ипоочерёдно принимаем за полюса (с системами отсчёта соответственнои- рис.19.10). В соответствии с 19.9 записываем:

а

;

Рисунок 19.10

б

;

.

в

Из (а) и (б): .

Из (в): .

Из последних двух равенств:

.

г

При рассмотрении сферического движения угловая скорость вводилась как количественная характеристика, не зависящая от частиц тела, т.е. и- это одинаковые для всех номеров частиц векторы.

же - это переменный вектор, отражающий в себе множество векторов различных направлений (ввиду произвольности выбора точек в теле).

Таким образом, равенство нулю (г) имеет место не по причине параллельности векторов и, а потому, что.

138

19.7. Закон сложения угловых скоростей

Н

К закону сложения

угловых скоростей.

Постановка вопроса

угловой скорости

а рис.19.11: 1, 2 и 3 - неподвижное и произвольно движущиеся тела. Рассматри-ваем их как 3 разные системы отсчёта - как совокупности точек, не препятствующих взаимным перемещениям; -угловая скорость тела 2 в сферическом его движении относительно системы отсчёта, поступательно перемещающейся по отношению к системе 1, начало которой во времени совпадает с точкой тела 2;

Рисунок 19.11

- угловая скорость тела 3 в сфери-ческом его движении относительно системы отсчёта, поступательно перемещающейся по

отношению к системе 2, начало которой во времени совпадает с точкой тела 3;

- угловая скорость тела 3 в сферическом его движении относительно системы отсчёта, поступательно перемещающейся по отношению к системе 1, начало которой во времени совпадает с точкой тела 3.

Называют: ,,- абсолютной, относительной и переносной угловыми скоростями тела 3. Как они связаны между собою?

На этот вопрос отвечает закон сложения угловых скоростей:

19.12; Иначе - -

абсолютная угловая скорость тела равна геометрической сумме относительной и переносной её составляющих.

Замечание: математическая запись закона 19.12 идентична той, которая в подразделе 19.2 отображала закон сложения линейных скоростей - . Но чтобы была видна разница в механической сущности применены различные буквы - и.

Теоретический переход от предыдущего материала к закону 19.12 можно основать на законах 19.11 и 19.3, используя ранее рассматривавшиеся методы. Покажем это.-

З

К закону сложения угловых скоростей. Картина после преобразований

акон о единой для тела угловой скорости позволяет перейти к другим принимаемым за полюса точкам тел 2 и 3:заменяем полюсом(- точка тела 2, совпадающая в принятый к рассмотрению момент времени с нача-

139

л

К закону сложения угловых скоростей. Картина после преобразований

омнеподвижной системы отсчёта), а два полюсазаменяем двумя полюсами(- точка тела 3, совпадающая в принятый к рассмотрению момент времени с началомнеподвижной системы отсчёта; одна система с началом в точкеперемещается поступательно относительно первой системы отсчёта; вторая система с началом в точкеперемещается поступательно относительно системы отсчёта 2).

Врезультате проведенных преобразований получаем картину, представленную на рис.19.12, где буквойотображены 2 совпадающие в принятый к рассмотрению момент времени точки, одна принадлежит телу 2 (), вторая - телу 3 ().

По формулам сферического движения записываем:

,

Рисунок 19.12

,

.

Теперь используем закон сложения линейных скоростей -

.

Подставляя в последнее выражение 3 предыдущих, получаем:

.

- произвольная точка. Это значит, что может иметь любое направление. Поэтому равенство нулю обеспечивается не параллельностью векторови, а тем, что.

Откуда и следует результат 19.12.

Закон сложения угловых скоростей широко применяется в инженерной практике – для кинематического исследования зубчато-рычажных механизмов (планетарных, дифференциальных и пр.) - см. подраздел 21.2.

140