ж

.

Подставляя (ж) в (е) и учитывая первое равенство из (б), получаем:

з

. Аналогично:

и

.

Из рис.19.2 видно: .

Взяв от последнего равенства производную по времени с позиций наблюда-теля, находящегося в неподвижной системе, и учитывая (г), (д), (з), (и), получаем:

19.2

- формула, связываю-щая между собою абсолютную и относительную скорости точки.

Математическое выражение 19.2 рассматривается как функция времени. Однако в расчётную практику в большей степени вошёл подход, в соответствии с которым каждому моменту времени соответствует своя точка Е – такая, с которой совпадает точкаМ. В этих случаяхи 19.2 принимает вид:

19.3

; (иначе -) - формула, выражающая закон сложения скоростей - абсолютная скорость точки состоит из 2-х составляющих - относительной и переносной.

19.3. Закон сложения ускорений

С позиций наблюдателя, находящегося в неподвижной системе отсчёта, берём производную по времени от математического выражения 2. Получаем:

к

.

Учитываем, что из(д)

л

.

129

Вспомогательная система относительно неподвижной перемещается поступательно. Следовательно

м

- угловое ускорение подвижной системы

относительно вспомогательной.

Теперь, учитывая (з) и (и), преобразуем последнее слагаемое выражения (к):

. Итак:

19.4

- формула,

связывающая абсолютное и относительное ускорения точки.

Подобно скоростям в расчётную практику вошёл подход, в соответствии с которым каждому моменту времени соответствует своя точка Е – такая, с которой совпадает точкаМ. В этих случаяхи 19.4 принимает вид:

;

и

19.5

наче:, где -

формула, выражающая закон сложения ускорений;

называют кориолисовой (или поворотной) составляющей абсолютного ускорения. Густав Кориолис (1792-1843) –

французский математик и механик; опубликовал результат 19.5 в 1831 году.

Замечание.-При исследовании динамических процессов иногда используют третьи производные от радиус-векторов, называя их «рывками» («пульсами», «ускорениями 2-го порядка»). В частности, специалисты пишут:«При исследовании колебаний в механизмах нередко существенную роль играет интенсивность изменения ускорений».

Взяв производную по времени от 19.4, получаемтеорему сложения пульсов:

.

Главные цели её приведения: демонстрация преимуществ изложенного теоретического метода над аналогичными другими известными и, главное, в пояснении различия между понятиями «закон» (сложения ) и «теоремой» - результат назван теоремой потому, что сегодня он лишь предсказание, почти с достоверностью правильное, но пока новое и не общепризнанное.

130

П

К переплываниюреки

абсолютная

траектория

пловца

финиш

пассивно

плывущий

предмет

старт



B

V

a

A

r

V

e

V

РИМЕР 19.1.-На закон сложения скоростей – переплывание реки

Д

Рисунок 19.3

ано.- Туристической группе необходимо вплавь перебраться на выбранную на противоположном берегу реки площадку (на рис.19.3 точка В), но при этом недопустим выход из воды ниже этой точки (например, по той причине, что ниже запримеченной площадки в реку впадает её приток). При этом известно, что наименее подготовленный представитель туристической группы в бассейне (или озере) может плыть со скоростью 30 м/мин.

Определить точку А вхождения туристов в воду (через угол , под которым траектория АВ плывущих туристов пересекает среднюю линию русла реки).

Решение.- Отмеряют на береговой линии отрезок, параллельный средней линии русла реки. Длиной, например, 50 м и устанавливают время, в течение которого пассивно плывущие по реке предметы преодолевают этот путь. Положим скорость течения реки (среды, переносящей вместе с собой тело пловца) оказалась равной 20 м/мин.

Берега реки принимаются за неподвижную систему отсчёта, а водная среда, вместе с находящимися в ней ветками, щепой и палками, за подвижную систему.

Т

К решению примера 19.1

огда 20 м/мин и 30 м/мин – это модули соответственно переносной и относительной скоростей переплывающего реку туриста. Понятно, что меньшие затраты энергии и времени на переплытие реки будут в том случае, если вектор .

На основании закона сложения строим треугольник

скоростей (рис.4) и устанавливаем: .

И

Рисунок 19.4

з подручных материалов (например из ивовых прутьев) изготавливают прямоугольный треугольник, длины катетов которого относятся между собою как 3 к 2-м. При установлении положения точкиА его держат

горизонтально, причём так, чтобы меньший катет был параллелен средней линии русла реки, а второй перпендикулярен ей и, идя вдоль берега, наблюдают за положением гипотенузы – место, в котором находится треугольник, когда точка В оказывается на содержащей гипотенузу прямой и есть искомая точка А.

131

П

Движущийся вагон с вращающимся в нём стержнем

РИМЕР 19.2.-На закон сложения ускорений; подвижная система перемещается поступательно

Дано.- В изображённом на рис.5 положении (): ; м/с; м/с²; АО=1 м.

Определить абсолютное (относительно системы ускорение точки А.

Решение.- Воспользуемся законом сложения ускорений:

Рисунок 19.5

, .

За подвижную систему координат принима-

ем , которая, как видно из рисунка (из условия), перемещается поступательно относительнонеподвижной.

Т.к. подвижная система координат перемещается поступательно, то ускорения всех её точек одинаковы и, поэтому, переносная составляющая () ускорения точкиА равна указанному на рисунке .

Относительно подвижной системы точка А движется по окружности радиуса АО с центром в точке О. Поэтому относительную составляющую ускорения целесообразно представить двумя векторами -

, которые определяются как при простом вращательном движении:

К решению примера 19.2

м/с²

и направлен отА к О;

a

e

м/с²; и направлен (что видно по круговой стрелке) влево-вверх.

Графически решая (см. рис. 6) полу-

ченное уравнение, находим:

Рисунок 19.6

м/с²; направлен же вектор абсолютного ускорения точки А влево-вниз под углом 11^о к горизонтали.

132

П

Ускорение точки,

движущейся по вращающемуся кольцу

РИМЕР 19.3.-На закон сложения ускорений – с кориолисовой составляющей

Дано.- Четверть кольца радиуса м скреплена со стержнем, вращающимся вокруг оси (см. рис.19.7, где выше расположен главный вид, под ним – вид сверху). В интересующий момент времени: , м; м/с; м/с²; ; . Направления векторов , , и указаны на рисунке.

Определить для заданного момента времени проекции абсолютного ускорения точки М на оси неподвижной системы отсчёта.

Р

Рисунок 19.7

ешение. – За подвижную принимаем систему отсчёта, связанную с вращающимся телом и применяем теорему сложения ускорений –

.

Т.к. относительной траекторией точки М является дуга окружности (радиуса м с центром в точке В), то представляем в виде нормальной и касательной составляющих -и; первая направлена отВ к М; вторая – по касательной в точке М к указанной относительной траектории. Их модули:

м/с²; и м/с² - по условию.

Переносной траекторией точки М (абсолютной траекторией той точки подвижной системы, с которой в рассматриваемый момент времени совпадает точка М) является окружность с центром в точке А и радиусом м.

Переносное ускорение также представляем в виде двух составляющих - и; первая направлена отМ к А (по главной нормали к переносной траектории), вторая - по касательной к ней в сторону зрачка читателя (что видно по круговой стрелке, изображающей вектор углового ускорения ). Их модули:

м/с²; м/с².

Переходим к определению кориолисова ускорения - .

133

Направление вектора можно определять по известным из курса математики правилам векторного произведения, но более удачным считается

п

19.6

равило Жуковского: чтобы определить направление кориолисовой составляющей ускорения, нужно вектор относительной скорости () спроектировать на плоскость, перпендикулярную вектору переносной угловой скорости (; в рассматриваемом примере - ), и полученную проекцию повернуть на угол 90^о в направлении переносного вращения;

Жуковский Н.Е. (1847-1921) – выдающийся отечественный учёный, известен основополагающими работами в области аэродинамики; его «Теоретическая механика» являлась базовым курсом первую половину 20-го века.

В рассматриваемом примере вектор кориолисова ускорения оказался противоположно направленным оси (см. рисунок). Его модуль:

м/с².

Итак, в рассматриваемой задаче полное ускорение оказалось представленным в виде 5-ти составляющих:

.

Решаем его аналитическим способом - путём проектирования на оси :

м/с²;

510 м/с²;

.

Итак, абсолютное ускорение точки Мв заданный момент времени (в заданном положении механической системы) перпендикулярно осии его проекции на осииравны: м/с²; 510 м/с².