36.7*. Рекомендации по предупреждению резонансных явлений в механических системах с несколькими степенями свободы

Конечной целью анализа по предупреждению резонансных явлений в системах с несколькими степенями свободы является построение линии согласования круговых частот. Идея этого подхода отражена на рис.10,

Примерный вид линии согласования круговых частот

Рисунок 36.10

где на числовой оси изображены:

толстыми отрезками - интервалы возможных круговых частот возмущающих гармоник;

отрезками двойных линий - интервалы собственных круговых частот системы;

отрезками тонких линий - незанятые (пустые) участки числовой оси (участки-гаранты резонансной безопасности).

Можно выделить 3 основных этапа в инженерном расчёте по предупреждению резонансных явлений в конкретной механической системе.

Первый этап – выявить интервалы круговых частот всех возможных возмущающих гармоник и нанести их на числовую ось. При этом, для периодических возмущающих сил целесообразно учитывать всего 3 нижние гармоники (основную, 2-ю и 3-ю).

Второй этап - установить частоты собственных колебаний системы.

Подэтап 2.1 - составить дифференциальные уравнения, описывающие свободные колебания системы.

Это позволяет сделать, например, уравнение возможных мощностей (см. раздел 32 и 12.6); при этом, следует учитывать лишь потенциальные силы (без возмущающих и сил сопротивления). Часто для этого используют также уравнения Лагранжа 2-го рода в форме через кинетический потенциал. В обобщённой форме (отвлекаясь от конкретной механической системы) составленные дифференциальные уравнения будут иметь вид:

а

,

,

................................................................................................................

,

где (в количестве ) называют инерционными коэффициентами - они

353

являются алгебраическими выражениями от масс и моментов инерции тел системы;

(в том же количестве ) называют коэффициентами жёсткости (часто квазиупругими коэффициентами) - они в дифференциальные уравнения попадают из выражений для потенциальных сил.

Большого количества () коэффициентов и не следует бояться - число степеней свободы () обычно не столь велико – до десятка; матрицы симметричные; много нулевых элементов; из ненулевых больше постоянных, но в общем случае следует рассчитывать на наличие и коэффициентов, зависящих от обобщённых координат.

Подэтап 2.2 - линеаризация дифференциальных уравнений.

Для чего это нужно? - В случае нескольких степеней свободы подходы к решению разработаны практически лишь для линейныхсистем.

Обычно встречаются голономные, стационарные связи. Их и будем иметь ввиду. Такое ограничение позволяет констатировать: если и присутствуют переменные коэффициенты, то они являются функциями не сложнее, чем функции координат - ; имеется ввиду, что для различных коэффициентов эти функции в общем случае различны.

Колебания происходят около положений устойчивого равновесия систем и, поэтому, начала отсчёта для обобщённых координат принимают такими, чтобы в положении равновесия они равнялись нулю. Тогда каждый из переменных коэффициентов раскладывают в ряд Маклорена и ограничиваются постоянной составляющей, т.е. от

берут лишь первое слагаемое - считают, что .

Такой подход уязвим - недостаточно строг в теоретическом плане (сохраняется лишь 1-й член ряда Маклорена, а остальные опускаются - как бесконечно малые1-го, 2-го и т.д. порядков малости; на самом же деле перемещения являются конечными величинами). Однако практика подтвердила продуктивность такого подхода; несмотря на это замечаем: теория колебаний ещё не завершена – она, как одна из отраслей механики, сегодня ещё является передней линией науки; возможно появление и более точных подходов.

Подэтап 2.3 - переход от системы дифференциальных уравнений к частотному определителю.

Целью решения системы (а) является определение круговых частот свободных колебаний системы. Их количество - .

354

Для определения частот частные решения системы (а) ищут в виде:

б

.

Вторые производные по времени от выражений (б):

в

.

Подставляем (б) и (в) в (а):

,

,

..........................................................................................................

.

Известно, что система линейных (относительно ) алгебраических уравнений может иметь решение отличное от нуля лишь в том случае, если её определитель равен нулю. Поэтому получаем

определитель для спектра частот собственных колебаний системы:

г

= 0

...............................................................................

Подэтап 2.4 - составление частотного многочлена

Разворачивая частотный определитель получают

ч

д

астотное уравнение

, где

- квадраты неизвестных (определяемых) частот собственных колебаний системы. - числовые коэффициенты; при принятой расстановке знаков положительны; для их нахождения достаточно знания числовых матриц квазиупругих и инерционных коэффициентов:

.

355

В частности, их можно определять по предложенным нами (Игнатищев Р.М.) формулам:

; ; ;

; ................; ; ,

где и , как обычно, символы сумм и определителей;

нижний индекс «К2» символизирует о том, что речь идёт о комбинированной матрице, составленной из двух других - путём замены столбцов (или строк) одной матрицы на столбцы второй;

«» символизирует. что столбцы одной матрицы замещаются столбцами второй с теми же номерами (меняется на);

- количество столбцов, взятых изи заместивших столбцы с соответствующими номерами в; удобство для запоминания -иявляются первыми буквами двух алфавитов (греческого и латинского)

- количество столбцов в комбинированной матрице, сохранившихся от.

При этом, рассматриваются все различные замещения, без повторений и перестановок. Например, при иопределяются как суммы 5 соответствующих определителей;и- как суммы определителей 10-ти комбинированных матриц. Вот, в частности, по каким матрицам вычисляется коэффициент: с с с а а; с с а с а; с с а а с; с а с с а; с а с а с;

с а а с с; а с с с а; а с с а с; а с а с с; а а с с с.

Многочлен (д) с решается чисто – имеются точные аналитические выражения; но нет проблем с решением (практически с любой степенью точности) и многочленов, у которых - см., например, [8]. При этом, обращаем внимание, что все корни не только вещественны, но и положительны; если выясняется противное, то считайте: где-то допущена некорректность; в частности, может оказаться, что положение равновесия, относительно которого вы рассматриваете колебания, неустойчиво.

Подэтап 2.5 - выявление диапазонов возможного изменения частот.

В общем случае расчёт состоит из нескольких приближений. Выполняется с применением ЭЦВМ.

356

Как и для одной степени свободы инженер рассматривает возможные отклонения в массах, моментах инерции и жёсткостях упругих элементов. Поэтому инерционные и квазиупругие коэффициенты в общем случае расположены в определённых интервалах.

При расчёте в первом приближении для квазиупругих и инерционных коффициентов берутся средние значения, затем левые и правые границы их интервалов.

Третий этап - согласование собственных частот колебаний системы с частотами возмущающих сил.

На линию согласования наносится цепочка отрезков, отображающих интервалы частот собственных колебаний системы. Возможны 2 варианта: первый - наложение собственных частот на частоты возмущающих сил отсутствует; второй вариант – наложения есть.

При первом варианте расчёт заканчивается. При втором - продолжается – до достижения частотной согласованности.

С целью согласования частот принимавшиеся широкие интервалы разбросов масс, моментов инерции, жёсткостей и возмущающих частот сужаются; соответственно ужесточаются требования к эксплуатационникам. Если и в этом случае полного согласования достичь не удалось, механическую систему целесообразно снабдить устройствами, ограничивающие амплитуды возможных резонансных колебаний, а в инструкцию по эксплуатации механической системы ввести соответствующие запретно-предупредительные указания, исключающие возможность наложения какого бы то ни было из звеньев цепочки частотных интервалов возмущающей силы на звенья цепочки интервалов частот собственных колебаний системы.