36.6. О необходимости учёта других гармоник при рассмотрении вынужденных колебаний

Возмущающими силами могут быть не только отдельно взятые гармоники (как в рассмотренном примере). Часто инженер имеет дело с разнообразными периодическими функциями времени, отличными от отдельно взятых гармоник.

Два примера периодически изменяющихся во времени сил

Рисунок 36.9

350

На рис.36.9 представлено 2 таких примера: слева – периодическая непрерывная (например в двигателях внутреннего сгорания); справа – периодическая, кусочная, с разрывами 1-го рода. - их периоды.

Из курса высшей математики известна теорема Дирихле, в соответствии с которой всякая периодическая кусочно-непрерывная с разрывами 1-го рода (либо без разрывов) функция может быть представлена рядом Фурье:

, , где

- частота 1-й (синоним: основной) гармоники;

- номера 1-й, 2-й, 3-й и т.д. гармоник;

и - постоянные; методы их определения хорошо разработаны: в [3] наc.552-556 см. таблицу из 47 наиболее распространённых видов периодических функций, разложенных в ряд Фурье; в [13] наc.74-88 - «Практический гармо-нический анализ»; в [6] на с.127-182 - «Элементы гармонического анализа».

В случае, если возмущающая сила является периодической функцией времени, то чисто вынужденные колебания определяются суммой частных решений дифференциальных уравнений

, ,

и т.д., что в общем виде можно записать:

и

36.24

, на основании известной из курса высшей математики теоремы о наложении решений, получаем:

ч

36.23

исто вынужденные колебания при периодической (состоящей из гармоник) возмущающей силе определяются выражениями -

, где

Из полученного общетеоретического результата видим: громадные амплитуды колебаний у механической системы могут возбуждать не только первые (основные) гармоники, но и более высокого порядка.

Рекомендуемый подход по предупреждению резонансных явлений

У находящейся в эксплуатации механической системы массы и коэффициенты жёсткости отличаются от идеализированного расчётного варианта.

351

И не только по причине разбросов, обусловленных допусками на изготовление деталей. Могут отличаться, например, по причине происходящих во времени износов (абразивных, коррозионных и др.), что приводит к некоторым изменениям масс и коэффициентов жёсткости. Соединительные муфты и двигатели (это значит и моменты инерции) ещё на стадии монтажа механической системы могут несколько отличаться от идеального варианта. К тем или иным (особенно неподвижным) деталям могут быть прикреплены посторонние предметы (приборы, контролирующие устройства). И т.д., и т.п.

С целью гарантирования безотказной работы механической системы инженер устанавливает интервал возможных значений круговой частоты собственных её колебаний

например.

Устанавливает и интервалы возможных значений круговых частот для периодической возмущающей силы. Например:

. Тогда:

.

Видно: есть опасность, что система может войти в резонанс от 3-й гармоники. Поэтому, по формуле 36.23 целесообразно определить резонансное значение амплитуды, вынуждаемое 3-й гармоникой - Эта амплитуда может оказаться несущественной.

Накопленный научно-инженерный опыт позволяет рекомендовать учитывать всего 3, но не более 5-ти нижних гармоник. Некоторое теоретическое основание к этому см. в [6] на с.148-152 – «Порядок убывания коэффициентов Фурье».

Если гармоника оказалась всё же резонансно опасной, то следует провести конструктивные изменения – взять упругие элементы с другими коэффициентами жёсткости, изменить моменты инерции, увеличить массы (если их уже нельзя уменьшить), но сделать так, чтобы вошёл в нерезонансный интервал круговых частот. Если иметь ввиду рассматриваемый пример, то надо сделать так, чтобы вошёл в интервал , либо .

Сложнее, но примерно такие же подходы имеют место при рассмотрении колебаний с несколькими степенями свободы.

352