36.5. Вынужденные колебания линейных систем с одной степенью свободы

Вынужденными колебаниями линейных систем с одной степенью свободы и вязким трением называют движение, описываемое дифференциальным уравнением

36.19

, где

левая часть уравнения взята из 36.11. В правой части:

- возмущающая амплитуда; - возмущающая частота; - возмущающая фаза; - начальная возмущающая фаза.

Если говорить о конкретных примерах, то уравнение 36.19 будет получено для системы, изображённой на рис.2, если вы рядом с силой изобразите и силу . Рекомендуем проделать это самостоятельно.

П

36.20а

о математической классификации 36.19 - это дифференциальное уравне-ние второго порядка, линейное, с постоянными коэффициентами и правой частью (неоднородное, т.е. имеющее функцию времени в явном виде). Поэтому: общее решение уравнения 36.19 можно представлять суммой двух составляющих –

а

, где

- общее решение дифференциального уравнения и

- частное решение неоднородного уравнения.

С

36.20б

оставляющая достаточно подробно рассмотрена в предыдущем подразделе (и малые, и большие сопротивления; изображены графики). Здесь заметим лишь, что по прошествии небольшого промежутка времени после появления возмущающей силы (до минуты - нескольких минут; например, после включения в работу двигателя) составляющая становится пренебрежимо малой по сравнению с . Последняя же, как увидим, во времени сохраняется (поэтому её называют стационарной составляющей вынужденных колебаний); причём она может достигать громадных значений. По этим причинам в вынужденных колебаниях основной интерес представляет .

Если хотят подчеркнуть, что речь идёт о вынужденных колебаниях без учёта затухающей составляющей, то употребляют термин: «чисто вынужденные колебания».

Переходные процессы для механических колебаний имеют относительно небольшую значимость. Поэтому в дальнейшем будут иметься ввиду чисто вынужденные колебания.

345

Частное решение () находим методом неопределённых коэффициентов. При этом, с целью упрощения записей, обозначаем

б

просто.

Т.к. в правой части 36.19 записано , то решение ищем в форме

.

Полученную тройку выражений подставляем в 36.19, причём правую его часть записываем также с учётом обозначения (б). Получаем:

.

Откуда (приравнивая алгебраические выражения при и ) находим

, где

-коэффициент расстройки; -относительныйкоэф-фициент затухания(безразмерный коэффициент демпфирования);

с учётом 36.20а, т.е.:

, где

-

- уравнение чисто вынужденных колебаний.

является размерной величиной. Для обобщённых же оценок амплитуд вынужденных колебаний более удобны безразмерные величины. Главной из них является коэффициент динамичности (). Введём это понятие.

Если частота вынужденных колебаний стремится к нулю (при нагрузки называют статическими), то .

346

К

36.21а

оэффициент динамичности– это отношение амплитуды вынужденных колебаний к амплитуде колебаний той же системы, при тех же действующих силах, с одним лишь отличием – частота возмущающей силы стремится к нулю (если говорить о конечных величинах – то частота возмущающей силы меняется очень медленно, положим за один год на один полный период):

.

Относительный кэффициент затухания различен для различных систем. является непрерывной переменной даже в рамках одной системы (что будет показано в следующем подразделе).

Графики, отображающие уравнения 36.21а и 36.20а, представлены на рис.36.5 и 36.6.

Коэффициент динамичности Сдвиг по фазе

Рис.5 Рис.6

Из них видно:

1. Максимальные значения (при фиксированных , особенно при небольших их значениях) мало отличаются от резонансных () и, поэтому,

в

36.21б

практических расчётах максимальные коэффициенты динамичности можно оценивать резонансными значениями, т.е. вычислять по формуле: .

При малых сопротивлениях (что широко распространено – колебания в воздушной среде, без демпфирующих устройств) они могут принимать очень большие значения. Например, при ;

347

2. Сдвиг по фазе между гармониками, описывающими вынужденные коле-бания и возмущающую силу, может быть различным в интервале от до 180^o:

1. При резонансе равен 90^о;

2. При малых (по отношению к 1,0) сдвиг по фазе близок к 0^о; при больших – близок к 180^о(близок к противофазе).