(а)
проектируем на ось
б
.
В подразделе 22.6 (закон площадей Кеплера) было получено:
в
.
Из (б) и (в):
г
обозначаем
.
Система естественных и искусственных небесных тел с высоким уровнем точности является консервативной и к ней применим закон сохранения полной механической энергии.
.
Сокращая
на
и учитывая, что
,
а
(гравитационный параметр), из последнего
выражения получаем:
д
Теперь учитываем, что - см (г):
.
(д) принимает вид:
е
.
В
33.14
водим
новую переменную
-
.
Теперь (е) принимает вид:
ж
313
С целью получения табличного интеграла ещё раз делаем замену переменной:
з
.
Чтобы
получить квадрат разности и заменить
переменную
на
,
в (ж)
добавляем и отнимаем
.
С целью уменьшения длины математических
выражений, вводим также постоянную
и
.
Таким образом, (ж) преобразовано к табличному интегралу:
к
,
где
- величина, определяемая из начальных
условий -
л
.
Переходя от
к
,
из (к)
получаем:
,
или
.
Получено
известное уравнение конических сечений
в полярной системе координат, т.е 33.14
- это уравнение, отображающее окружность,
эллипс, параболу и гиперболу: при
- окружность; при
-
эллипс;
- парабола и при
-гипербола.
314
33.7.3. Анализ уравнения невозмущённой траектории ка
Случай
(круговая орбита)
.
Тогда, из (в)
и (г):
и видно, что
33.15При ;
и действительно:
.
Вычисляем круговую скорость КА, находящегося на расстоянии 200 км от поверхности Земли (где можно пренебречь сопротивлением атмосферы):
км/с.
км/с
называют 1-й космической скоростью -
КА становится искусственным спутником
Земли.
Случай
(параболическая траектория КА)
Из 33.14без пояснений видно, что
33.16При ,
т.е.
км/с.
Это вторая космическая скорость – при ней КА улетает за пределы сферы земного притяжения.
По
рассматриваемым формулам можно
подсчитать: чтобы КА смог покинуть
пределы Солнечной системы ему необходимо
сообщить скорость
км/с.
Эту скорость называют 3-й космической.
Подробное ознакомление с механикой космических полётов можно начать с книги «Левантовский В.И. Механика космического полёта в элементарном изложении.- М.: Наука, 1974.- 488 с.».
Итак, как и ранее рассмотренные опорные факты, закон сохранения механической энергии надёжен и доверителен - имеет не менее, чем двухвековую проверку. Надо только корректно им пользоваться. Но это уже другой вопрос.
315
34. Уравнения Лагранжа 2-го рода
3 14.1. Введение в раздел
Имеется большой массив методов исследования механических явлений, начала которым положил Ж.Л.Лагранж (1731-1813) – изданием в 1788 г. книги «Аналитическая механика». Характеризуя содержащиеся в ней методы, автор писал: «в них нет ни построений, ни геометрических или механических рассуждений; они требуют только алгебраических операций».
Если говорить о конечных результатах, то «Аналитическая механика» - это учение о составлении дифференциальных уравнений применительно к механическим системам, подробное ознакомление с чем можно начинать с книги, например: «Бутенин Н.В. Введение в аналитическую механику.- М.: Наука, 1971.- 264 с.».
Действующие учебные планы не предусматривают изучение будущими инженерами полного курса аналитической механики, но иметь первое представление о применяемых там подходах необходимо. Такая учебная задача и решается через рассмотрение уравнений Лагранжа 2-го рода и изученным в разделе 32 методом возможных перемещений.
П
2
Уравнения Лагранжа 2-го рода как и закон о сохранении полной механической энергии нельзя применить к любой механической системе, но если в условиях решения конкретной задачи накладываемые ограничения приемлемы, то главными преимуществами этих уравнений оказываются:
нет забот с выбором принимаемой к рассмотрению механической системы и сложностей с учётом реакций связей;
нет забот и с поиском необходимой для решения задачи системы уравнений;
одинаковость вычислительные процедур у всех конкретных задач, решаемых через уравнения Лагранжа 2-го рода.
Эти уравнения удобны не только для решения отдельных задач динамики, но и для общетеоретических построений (теорий устойчивости, малых колебаний и других).
316