К решению примера 12.1

Его направляющие косинусы:

Главный вектор , его составляющие

и

направляющие углыизображены

на рис.12.7.

Рисунок 12.7

31

12.9. Понятие о векторе-моменте силы

Сила – главная мера механического действия, но для описания механических явлений одной её недостаточно, что поясним конкретным примером: дверную ручку прибивают на наибольшем удалении от оси вращения двери; и если кто-либо попытается отступить от этого правила (прибив её вблизи от дверных петель) он окружающими людьми будет осмеян.

П

К понятию

«вектор-момент силы

ри описании механических явлений наряду с уже введенным комплексом понятий (сила, её составляющие, проекция силы на ось, плоскость) приходится оперировать ещё и другим комплексом понятий - «вектор-момент силы относительно центра», «момент силы относительно оси», «момент силы относительно точки».

Вектор-момент силы относительно произвольного центра О (рис.12.8) – это свободный вектор , равный векторному произведению радиус-вектора точки приложения даннойсилы на саму силу, т.е.

12.8

.

О

Рисунок 12.8

бращаем внимание на два свойства вектора-момента силы относительно центра:

в

12.9

ектор-момент () расположен перпендикулярно силе () и радиус-вектору () точки её приложения (расположен перпендикулярно треугольнику ОАВ - см. рис.12.8), причём направлен в ту сторону, чтобы глядя навстречу этому вектору видеть силу действующей в направлении поворота треугольника ОАВ против хода часовой стрелки;

м

12.10

одуль вектора-момента () не зависит от положения конца радиус-вектора () на линии действия силы () и равен удвоенной площади треугольника ОАВ.

И действительно, в сответствии с понятием векторного произведения

.

12.10. Моменты сил относительно осей и их связи с вектором-моментом

Под моментом силы относительно оси понимают проекцию на эту ось её вектор-момента относительно любой точки рассматриваемой оси, т.е. моменты

32

относительно осей соответственно - это величины (см. рис.12.8), определяемые из соотношений

12.11 ,

где - модуль вектора-момента силыотносительно начала системы координат, а,и- направляющие косинусы для вектора-момента. Итак, в соответствии с введенными понятиями

12.12.

12.11. Способ перестановки индексов

Важность владения способом определяется большой частотой его использования (не только в статике, но в кинематике и динамике).

В правой прямоугольной системе координат (это система координат с ортамиудовлетворяющими условию) считаем известными проекции силы() и радиус-вектораточки её приложения ().

В соответствии с 12.8, 12.12 и правилами векторного произведения имеем:

Откуда:

12.13а

На первый взгляд кажется, что формулы 12.13а сложны для запоминания.

Процесс написания любой из трёх формул 12.13аоказывается простым, если его раскладывать на 3 этапа:

1. По исходной векторной формуле (которую надо, конечно, помнить) пишется скалярная формула ;

33

2

К способу перестановки индексов

. К буквам последней записанной формулы приписываются индексы в представленной на рис.9 последовательности их появления при движении вдоль круга (x-y-z, либоy-z-x, либоz-x-y);

3. Вторые произведения в правых частях (стоящие после минусов) получаются из первых - путём написания тех же букв и индексов, но индексы при их привязке к буквам меняют местами.

С

Рисунок 12.9

пособ перестановки индексов используется также в кинематике ( ),

многократно в динамике и поэтому им целесообразно владеть свободно. Что значит «свободно»? Это значит любую из трёх формул 13а по команде товарища следует успевать записывать за 10 секунд.

Обычно стремятся к более простым записям. По этой причине вместо двухбуквенных обозначений ;пишут однобуквенные -и. В этом случае формулы 13а принимают вид:

12.13б