Среднее квадратическое отклонение

Основной общепринятой мерой колеблемости количественного признака в пределах вариационного ряда является среднее квадратическое отклонение (сигмальное отклонение), которое обозначается малой греческой буквой о (сигма).

Методика расчета среднего квадратического отклонения (σ) приведена в примере 7 и включает следующие этапы (табл. 7):

1. Находят среднюю арифметическую величину (М).

2. Определяют отклонения каждой варианты от средней арифметической d = V- М (графа 4, табл. 7). В медицинской статистике отклонения вариант от средней обозначаются как d (deviato). Сумма всех отклонений равняется нулю.

3. Возводят каждое отклонение в квадрат d² (графа 5, табл. 7).

4. Перемножают квадраты отклонений на соответствующие частоты: d² х р (графа 6, табл. 7).

5. Находят сумму произведений Σ(d² x р).

6. Вычисляют среднее квадратическое отклонение по формуле:

Расчет среднего квадратического отклонения

Число дней, V	Число больных, р	V x p	d=V-M	d2	d2 x p
1	2	3	4	5	6
16	1	16	-4	16	16
17	7	119	-3	9	63
18	8	144	-2	4	32
19	16	304	-1	1	16
20	29	580	0	0	0
21	20	420	+ 1	1	20
22	7	154	+ 2	4	28
23	5	115	+ 3	9	45
24	2	48	+ 4	16	32
M=20	n=95	ΣV x p=1900			Σ (d2 x p)=252

В нашем примере среднее квадратическое отклонение равно:

Значение среднего квадратического отклонения

1. Среднее квадратическое отклонение характеризует разброс вариант относительно средней величины, т. е. характеризует колеблемость вариацион­ ного ряда.

Чем больше среднее квадратическое отклонение, тем степень разнообра­зия данного ряда выше.

2. Среднее квадратическое отклонение используется для сравнительной оценки степени соответствия средней арифметической величины тому вариа­ ционному ряду, для которого она вычислена.

Вариации массовых явлений подчиняются закону нормального распреде­ления. Кривая, отображающая это распределение, имеет вид плавной колоколо-образной симметричной кривой (кривая Гаусса). Согласно теории вероятности в явлениях, подчиняющихся закону нормального распределения, между значе­ниями средйей арифметической и среднего квадратического отклонения суще­ствует строгая математическая зависимость. Теоретическое распределение ва­риант в однородном вариационном ряду подчиняется правилу трех сигм.

Рис. 1. Теоретическая кривая нормального распределения

Установлено, что при нормальном распределении признака:

Если в системе прямоугольных координат на оси абсцисс отложить зна­чения количественного признака (варианты), а на оси ординат — частоты встречаемости вариант в вариационном ряду, то по сторонам от средней ариф­метической равномерно располагаются варианты с большими и меньшими зна­чениями (рис. 1).

Установлено, что при нормальном распределении признака:

• 68,3% значений вариант находится в пределах М± 1σ;

• 95,5% значений вариант находится в пределах М± 2σ;

• 99,7% значений вариант находится в пределах А/± Зσ.

Если к средней арифметической величине прибавить или отнять одну сигму (M± 1σ), то при нормальном распределении признака в статистической совокупности в этих границах будет находиться не менее 68,3% всех вариант. В пределах М± 2σ будет заключено 95,5% всех наблюдений. Если к средней при­бавить или отнять три сигмы (М± Зσ), то в этих границах будут расположены 99,7% всех вариант изучаемой совокупности.

В нашем примере (табл.7) М = 20 дней, σ = 1,6 дня. В пределах М±1σ находится 65 вариант, что составляет 68,4% всех наблюдений

Такое распределение вариант позволяет считать, что данный вариационный ряд является однородным, а средняя арифметическая величина — типичной.

3. Среднее квадратическое отклонение позволяет установить значения нормы для клинико-биологических показателей. В медицине интервал М ± 1σ обычно принимается за пределы нормы для изучаемого явления. Отклонение оцениваемой величины от средней арифметической больше, чем на 1с указыва­ет на отклонение изучаемого параметра от нормы.

4. В медицине правило трех сигм применяется в педиатрической практике для индивидуальной оценки уровня физического развития детей (метод сиг-мальных отклонений), для разработки стандартов детской одежды, обуви, школьной мебели и т. д.

5. Среднее квадратическое отклонение необходимо для характеристики степени разнообразия изучаемого признака и вычисления ошибки средней арифметической величины.