ЗМІСТ

Вступ...............................................................................................................3

1. Постановка задачі та її математична модель .........................................4

2. Знаходження початкового розв’язку.......................................................8

2.1. Метод північно-західного кута...................................................8

2.2. Метод найменшої вартості..........................................................9

3. Пошук оптимального розв’язку……………………….…………...….12

3.1. Метод потенціалів……………………………………………..12

3.2. Перенесення по циклу…………………………………..……..15

Висновки…………………………………………………………………..21

Список літератури.......................................................................................22

ВСТУП

Транспортні задачі є важливим класом задач лінійного програмування. Це, як правило, задачі пошуку оптимального плану перевезення матеріальних благ. При здійсненні господарської діяльності виникає потреба у розв’язуванні багатьох задач, наприклад, управління запасами, рухом капіталу, складання розкладу тощо і математична модель яких є схожою за структурою з транспортною задачею. Тому даний клас задач у навчальній і спеціальній літературі традиційно розглядається як окрема тема.

Оскільки транспортна задача є задачею лінійного програмування, її розв’язок можна знайти за допомогою того ж таки симплекс-метода. Проте спеціальна структура математичної моделі транспортної задачі дозволяє використовувати спеціальні методи для їх розв’язування, що ґрунтуються на симплекс-методі і які будуть розглянуті.

1. Постановка задачі та її математична модель

Необхідно скласти оптимальний план перевезень товарів з m пунктів відправлення в n пунктів призначення. Відома кількість рейсів, які необхідно здійснити при цьому, а також вартість кожного рейсу.

Приклад. Транспортна компанія спеціалізується на перевезенні легкових автомобілів з трьох автомобілебудівних заводів до чотирьох салонів продажу. Заводи виготовляють 160, 240 і 120 авто щоквартально, а потреби салонів продажу у їхній продукції складають 120, 80, 200, 120. Автомобілі перевозяться спеціальними машинами –автомобілевозами. Автомобілевоз розрахований на транспортування 8 автомобілів.

На рис. 1а у таблиці, яку в подальшому будемо називати транспортною таблицею, у лівому верхньому куті кожної комірки показано вартість (тис. грн.) одного перевезення з i-го заводу на j-й автосалон. Оскільки 1 автовоз це 8 автомобілів і всі числа є кратними 8, то попит і пропозиція будуть цілими числами. Необхідно знайти такі обсяги перевезень хij між i-м заводом і j-м автосалоном, при яких вартість перевезення буде мінімальною. На рис. 1б показано транспортну таблицю загального вигляду.

Рис.1а

Рис.1б

Тут і надалі використовуються такі позначення

m – кількість пунктів відправлення;

n – кількість пунктів призначення;

c_ij – вартість рейсу з i-го пункту відправлення до j-го пункту призначення (від англ. cost – вартість);

s_i – величина пропозиції у i-му пункті відправлення (від англ. supply – пропозиція), вимірюється рейсами;

d_j – величина попиту у j-му пункті призначення (від англ. demand – попит), вимірюється рейсами.

x_ij – кількість рейсів з i-го пункту відправлення до j-го пункту призначення.

Схему перевезень показано на рис.2, де вузлами показано пункти відправлення та доставки продукції.

Рис.2

Стрілками показано напрямки руху продукції. В кружечках вказано кількість рейсів, здійснених з кожного заводу і кількість рейсів, здійснених до кожного автосалону. Над кожною дугою вказано вартість перевезень (тис. грн.) як добуток поки що невідомої кількості рейсів з заводу до автосалону на вартість кожного такого рейсу.

Запишемо математичну модель для цієї задачі. Позначимо Z загальну вартість перевезень, яка має бути мінімальною. Ми вже позначили хij як кількість автовозів, якими перевозять легкові автомобілі з i-го заводу до j-го автосалону. Отже ми маємо 12 невідомих змінних. Тоді цільова функція запишеться так:

(1)

Необхідно звернути увагу на те, що сума випущених машин дорівнює сумі попиту автосалонів на ці машини

20+30+15=15+10+25+15

Тому буде рівновага між попитом і пропозицією і ми можемо записати наступні обмеження. Оскільки ми розбивали наявну кількість авто на чотири групи на кожному заводі, наші обмеження будуть наступними

(2a)

У загальному випадку обмеження запишуться так

(2b)

Треба пам’ятати, що перевезення здійснюється з заводів до автосалонів, а не навпаки, тому до вказаних обмежень додається умова невід’ємності змінних.

(3)

Запишемо 1-3 у матричному вигляді для нашої задачі

, , ,

, ,

, (4а)

,

і у загальному вигляді

, , ,

, ,

(4б)

де E_n – одинична матриця розмірністю n;

M_i – матриця розмірністю mxn у якій i-й рядок складається з одиниць всі інші – з нулів, i=1..m

Як видно з (4), матриця системи обмежень є розрідженою, до того ж ненульовими елементами є одиниці. Тому для такого класу задач розроблено спеціальні методи знаходження розв’язку, про які йдеться нижче. Загальний алгоритм розв’язку є аналогічним алгоритму симплекс-метода, проте виконується на базі транспортної таблиці (рис.1). Послідовність розв’язування є такою:

Крок 1. Знаходимо початковий базисний допустимий розв’язок.

Крок 2. Перевіряємо умову оптимальності. Якщо умова виконується – знайдений розв’язок є оптимальним і розрахунки припиняються. Якщо ні – переходимо до наступного кроку.

Крок 3. Серед небазисних змінних вводимо одну з них до базису, виводячи натомість одну з базису за певним правилом. Повертаємося до кроку 2.

Розглянемо кожний крок окремо.