Основы автоматического управления

1.Частотные характеристики сау. Определите амплитудно-частотную характеристику объекта, передаточная функция которого определяется выражением

Зависимости, связывающие амплитуду и фазу выходного сигнала с частотой входного сигнала, называются частотными характеристиками (ЧХ).

Если подать на вход системы с передаточной функцией W(p) гармонический сигнал , то после завершения переходного процесса на выходе установятся гармонические колебания с той же частотой, но иными амплитудой и фазой, зависящими от частоты возмущающего воздействия. По ним можно судить о динамических свойствах системы.

Анализ ЧХ системы с целью исследования ее динамических свойств называется частотным анализом.

Подставим выражения для u(t) и y(t) в уравнение динамики:

(а₀pⁿ + a₁p^n-1 + a₂p^{n - 2} + ... + a_n)y = (b₀p^m + b₁p^m-1 + ... + b_m)u.

Учтем, что записать для левой части уравнения: .

По аналогии с передаточной функцией можно записать:

W(jω), равная отношению выходного сигнала к входному при изменении входного сигнала по гармоническому закону, называется частотной передаточной функцией. Передаточная функция полностью описывает все свойства объекта.

Легко заметить, что она может быть получена путем простой замены p на jω в выражении W(p). W(jω) есть комплексная функция (комплексный коэффициент передачи), поэтому:

,

где - вещественная ЧХ (ВЧХ);

– мнимая ЧХ (МЧХ);

– амплитудная ЧХ (АЧХ)-график модуля ККП

– фазовая ЧХ (ФЧХ)-аргумент ККП

АЧХ дает отношение амплитуд выходного и входного сигналов,

ФЧХ - сдвиг по фазе выходной величины относительно входной: .

Если W(jω) изобразить вектором на комплексной плоскости, то при изменении от 0 до его конец будет вычерчивать кривую, называемую годографом вектора W(jω), или амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ). Ветвь АФЧХ при изменении от до 0 можно получить зеркальным отображением данной кривой относительно вещественной оси.

ЛАЧХ - логарифмическая АЧХ;

ЛФЧХ - логарифмическая ФЧХ.

Задача

Определите амплитудно-частотную характеристику объекта, передаточная функция которого определяется выражением

Определим комплексную передаточную функцию заменив :

Преобразуем комплексную передаточную функцию:

Модуль от функции:

Модуль от функции и является АЧХ

Построим график АЧХ:

2 Методы описания свойств САУ. Определите фазо-частотную характеристику объекта, передаточная функция которого имеет вид W(p)=p/(1+pT)

1.Дифференциальные уравнения.

I форма

II форма

2. Передаточная функция.

Например:

3.Переходная функция (характеристика).

4.Частотная передаточная функция.

при

Может быть записана в 3-х видах:

4.1. Алгебраическая форма.

4.2. Показательная форма.

4.3. Тригонометрическая форма.

5.Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) -

6.Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) -

7.Амплитудно-фазовая характеристика.

На комплексной плоскости частотная передаточная функция при фиксированном значении частоты изображается вектором, длина которого , а аргумент . При изменении частоты от 0 до конец вектора описывает кривую (годограф), которая называется амплитудно- фазовой характеристикой.

Задача

Определите фазочастотную характеристику объекта, передаточная функция которого имеет вид: .

Определим комплексную передаточную функцию заменив :

.

Преобразуем комплексную передаточную функцию:

.

Определим фазо-частотную характеристику (ФЧХ):

;

.

Построим график ФЧХ: