1.4.Математические модели

Математическое обеспечение АП включает в себя математические модели (ММ) технических объектов проектирования, методы и алгоритмы выполнения проектных процедур. ММ технического объекта – это система математических объектов (чисел, переменных, матриц, множеств и т.п.) и отношений между ними, отражающая некоторые свойства технического объекта.

К ММ предъявляются требования универсальности, адекватности, точности и экономичности. Степень универсальности ММ характеризует полноту отображения в модели свойств реального объекта. Точность ММ оценивается степенью совпадения значений параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью оцениваемой ММ. Адекватность ММ – способность отображать заданные свойства с точностью не ниже заданной. Как правило, адекватность модели имеет место лишь в ограниченной области изменения параметров, называемой областью адекватности ММ. Экономичность ММ характеризуется затратами вычислительных ресурсов (затратами машинных времени и памяти) на её реализацию. Для машинно-независимой оценки экономичности используют такие величины, как среднее количество операций, выполняемых при одном обращении к модели, размерность системы уравнений, количество используемых в модели внутренних параметров и т.п. Требования высокой точности, большой универсальности, широкой области адекватности и при этом высокой экономичности противоречивы, и наилучшее удовлетворение их зависит от особенностей решаемых задач, что обусловливает применение в АП широкого спектра ММ, основные признаки классификации и типы которых даны в табл. 1 .1.

Таблица Таблица 1.1

Основные признаки классификации и типы мм

Признаки классификации	Математические модели
Характер отображаемых свойств	Структурные; функциональные
Принадлежность к иерархическому уровню	Микроуровня; макроуровня; метауровня
Степень детализации описания внутри одного уровня	Полные; макромодели
Способ представления свойств объекта	Аналитические; алгоритмические; имитационные
Способ получения модели	Теоретические; эмпирические

Структурные ММ отображают структурные свойства объекта и подразделяются на топологические (отображающие состав и взаимосвязи элементов объекта) и геометрические (отображающие, кроме взаимосвязей, и форму элементов). Функциональные ММ отображают физические или информационные процессы, протекающие в объекте при его функционировании или изготовлении, и обычно представляют собой системы уравнений, связывающих параметры объекта.

Особенностью ММ на микроуровне является отражение физических процессов, протекающих в непрерывных пространстве и времени. Часто, это дифференциальные уравнения в частных производных по времени и координатам, с помощью которых рассчитываются поля механических напряжений, электрических потенциалов, температур и т.п. ММ на макроуровне представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений с временем в качестве независимой переменной, поскольку используют укрупнённую дискретизацию пространства по функциональному признаку. На метауровне в качестве элементов принимают достаточно сложные совокупности деталей.

В полной ММ описываются состояния всех имеющихся межэлементных связей, а в макромодели – значительно меньшего их числа.

Аналитические ММ представляют собой явные выражения выходных параметров как функций входных и внутренних параметров. Они характеризуются высокой экономичностью, но получить их, как правило, удаётся только при допущениях и ограничениях, снижающих точность и сужающих область адекватности модели. Алгоритмические ММ выражают связи выходных параметров с параметрами внутренними и внешними в форме алгоритма. Имитационная ММ – алгоритмическая модель, отражающая поведение исследуемого объекта во времени при задании внешних воздействий на объект.

Теоретические ММ создаются по исследованиям процессов и закономерностей, присущих рассматриваемому классу объектов и явлений, а эмпирические – по изучению внешних проявлений свойств объекта с помощью измерений на внешних входах и выходах и обработки результатов этих измерений.