2.2. Задачи синтеза аф
Первой задачей синтеза является нахождение функции, с помощью которой можно физически реализовать АФ. АЧХ фильтра, удовлетворяя условиям физической реализуемости и техническим требованиям, должна наилучшим образом приближаться к идеальной АЧХ (Рис.1). Процесс нахождения такой функции называют аппроксимацией. Характер аппроксимации зависит от выбранного критерия качества.
Второй задачей синтеза является реализация найденной аппроксимирующей функции, т.е. определение на ее основе функциональной схемы АФ, модуль коэффициента передачи которого удовлетворяет предъявляемым техническим требованиям и наилучшим образом приближается к идеальной АЧХ. В качестве критерия оптимальности может служить минимум числа элементов схемы, минимум чувствительности характеристик цепи к изменению во времени или технологическому разбросу величин ее элементов.
Третей задачей синтеза является расчёт элементов выбранной электрической цепи.
АЧХ любых физически
реализуемых электрических цепей могут
быть представлены в виде аналитических
дробно рациональных функций комплексной
переменной
/1-3/.
,
(1)
Где
,
,
- вещественные коэффициенты, зависящие
от физических параметров RC
цепи и коэффициента усиления усилителя,
m, n
– степени (порядок) полиномов числителя
и знаменателя.
Полином знаменателя
называется полиномом Гурвица. Полиномом
Гурвица называют полином с вещественными
коэффициентами, нули (корни) которого
лежат в левой полуплоскости комплексной
переменной
,
где
.
Нули функции
являются корнями уравнения
,
(2)
и им соответствуют
частоты
.
Полюсы функции являются корнями уравнения
,
(3)
и им соответствуют
частоты
.
При
(первый порядок):
АЧХ-ФНЧ
;
(4)
АЧХ-ФВЧ
.
(5)
При
(второй
порядок):
АЧХ-ФНЧ
;
(6)
АЧХ-ФВЧ
;
(7)
АЧХ-ПФ
;
(8)
АЧХ-ЗФ
,
(9)
где
- максимальный коэффициент передачи
цепи,
- собственная частота свободных колебаний в цепи (частота, соответствующая полюсу цепи),
- частота, на которой
модуль передаточной характеристики
цепи равен нулю
,
- комплексная
частота,
- коэффициент
затухания цепи,
- добротность цепи,
.
Параметры
,
,
,
зависят от величин R,
C АФ и
- усилителя, входящего в активную RC-цепь.
Известны критерии оптимизации по Баттерворту, Тейлору, Чебышеву, Золотарёву, Кауэру /1/. Выбор вида аппроксимации определяется заданной избирательностью за пределами полосы пропускания, неравномерностью в полосе пропускания, линейностью фазовой характеристики. Наименьший порядок n (число реактивных элементов) имеют АФ при аппроксимации по Золотарёву. Наибольший порядок n имеют АФ при аппроксимации по Баттерворту.