Аннуитет.

В большинстве современных коммерческих операций подразумеваются не разовые платежи, а последовательность денежных поступлений (или выплат) в течение определенного периода. Это может быть серия доходов и расходов некоторого предприятия, выплата задолженностей, взносы для создание тех или иных фондов и т.д. Такая последовательность называется потоком платежей.

Поток однонаправленных платежей с равными интервалами между последовательными платежами в течение определенного количества лет называется аннуитетом (финансовой рентой).

Наиболее распространенные примеры аннуитетов - регулярные взносы в пенсионный фонд, погашение долгосрочного кредита, выплата процентов по ценным бумагам.

Поступления аннуитета можно обозначить следующим образом:

CF 1 = CF 2 = … = CF n = CF.

Аннуитеты могут между собой различаться по следующим характеристикам

• величиной каждого отдельного платежа,

• интервалом времени между двумя последовательными платежами (периодом аннуитета),

• сроком от начала аннуитета до конца его последнего периода (бывают и неограниченные по времени - вечные аннуитеты),

• процентной ставкой, применяемой при наращении или дисконтировании платежей.

По времени наступления платежей различают два вида аннуитета

1. обыкновенный аннуитет – когда платежи происходят в конце каждого периода – ПОСТНУМЕРАНДО.

2. авансовый аннуитет – тогда платежи происходят в начале каждого периода – ПРЕНУМЕРАНДО.

По продолжительности денежного потока различают:

1. Срочный аннуитет - денежный поток с равными поступлениями в течение ограниченного промежутка времени.

2. Бессрочный аннуитет - когда денежные поступления продолжаются достаточно длительного времени.

С практической точки зрения наибольший интерес представляют собой аннуитеты, в которых все платежи равны между собой (постоянные аннуитеты), либо изменяются с определенной закономерностью. Такие аннуитеты мы и рассмотрим.

Пусть

P - величина каждого отдельного платежа,

i - сложная процентная ставка, по которой начисляются проценты,

S - наращенная (будущая) сумма для k-го платежа аннуитета постнумерандо,

S - наращенная (будущая) стоимость всего аннуитета постнумерандо (сумма всех платежей с процентами),

A - современная (настоящая) величина k-го платежа аннуитета постнумерандо (сумма настоящих стоимостей всех платежей),

A - современная (настоящая) стоимость всего аннуитета постнумерандо (сумма настоящих стоимостей всех платежей),

Sп - наращенная сумма аннуитета пренумерандо,

Ап - современная величина аннуитета пренумерандо,

n - число платежей.

Рассмотрим аннуитет постнумерандо с ежегодными платежами Р в течение n лет, на которые начисляются проценты по сложной ставке i.

Д ля первого платежа S платежи будут начисляться (n-1) раз, тогда, согласно формуле (3.1) для сложных ставок ссудных процентов,

S = Р (1 + i ) .

Для второго платежа S (проценты на него будут начисляться на год меньше) -

S = Р (1 + i ) и т.д.

На последний платеж, произведенный в конце n-го года, проценты уже не начисляются, т.е.

S = Р.

Тогда для общей наращенной суммы

S = , (1)

где k - коэффициент наращения аннуитета с параметрами i, n. Он является суммой членов геометрической прогрессии, для которой первый член a =1, а знаменатель равен (1+ i ) = q. Суммы членов геометрической прогрессии в математике вычисляется по формуле

S = a (q -1) / (q-1) , тогда (1) примет вид

S = Р ((1+i ) -1)/i .

Коэффициент наращения равен

k = ((1+i ) -1)/ i .

Вычислим теперь современную величину А данного аннуитета. Современное значение каждого платежа будет определяться по формуле

А = Р / (1+i ) .

Тогда современная величина всего аннуитета составит

А = ,

где а - коэффициент приведения аннуитета. Это опять сумма геометрической прогрессии, теперь уже с параметрами а = q = 1/(1+i ). Тогда для а получим

а = (1/(1+i ) ((1/1+i ) -1)) / (1/(1+i )-1) = (1 - (1+i ) ) / i ,

для современной величины А соответственно

А = Р (1 - (1+i ) ) / i .

Видно, что современная величина аннуитета и наращенная сумма связаны соотношением:

S = А(1+i ) .

Из полученных формул можно получить выражение для размера очередного платежа:

Р =S/ k = S i / (1+i ) -1 или

Р=А/ а = А i / (1 - (1+i ) )

Рассмотрим теперь аннуитет пренумерандо с теми же условиями.

Отличие от предыдущего случая здесь состоит в том, что период начисления процентов на каждый платеж увеличивается на один год, т.е. каждая наращенная сумма S увеличивается в (1+i) раз. Следовательно, для всей суммы имеем

S п = (1+i ) = S(1+i ).

Д ля коэффициента наращения пренумерандо k имеем:

k = k (1+i )

Для определения современных значений каждого платежа дисконтирование по заданной ставке i проводится на один раз меньше, чем в случае аннуитета пренумерандо. Поэтому каждая современная величина А будет больше в (1+i) раз. Таким образом,

А п= .

Для коэффициента приведения получаем

а = а (1+i ).

Если срок аннуитета неограничен, мы имеем случай вечного аннуитета - перпетуитета. Для аннуитета пренумерандо выражения для наращенной суммы и современной величины приобретут вид

S = Р ((1+i ) -1)/i = ,

А = Р (1-(1+i ) )/i = Р : i .

Для аннуитета пренумерандо соответственно получим

Sп = Р (1+i ) ((1+i ) -1)/i = ,

Ап = Р (1+i ) (1-(1+i ) )/i = Р + Р / i