Сложные учетные ставки

Рассмотрим антисипативный способ начисления сложного процента. Пусть

d (%) - сложная годовая учетная ставка,

d - относительная величина учетной ставки,

k - коэффициент наращения для случая учетной ставки,

f - номинальная годовая учетная ставка.

Тогда по прошествии первого года наращенная сумма по формуле (2.5) составит

S = P / (1 - d ), еще через год

S = S / (1 - d ) = Р / (1 - d ) , и т.д.

П о прошествии n лет

S = P / (1 - d ) (4.1).

Коэффициент наращения тогда

k = 1 / (1 - d ) (4.2).

Сравнивая формулы (3.1) и (4.1), можно увидеть, что при равенстве ссудного процента и учетной ставки наращение первоначальной суммы в случае антисипативного метода происходит быстрее. Поэтому часто можно столкнуться с утверждением, что декурсивный метод начисления более выгоден для заемщика, а антисипативный - для кредитора. Это справедливо лишь для невысоких процентных ставок, тогда расхождение не очень значительно. Но с ростом процентной ставки разница в величине наращенной суммы становится огромной и сравнение двух методов с точки зрения выгодности утрачивает смысл.

Д ля периода начисления, не являющегося целым числом, имеем

k = 1 / ( (1 - d ) (1 - n d ) ) (4.3)

Д ля начисления процентов m раз в году формула наращенной суммы имеет такой вид

S = P / (1 - f/m) или

S = P / ( (1 - f/m) (1 - l f/m) ), где

mn -целое число интервалов начисления за весь период начисления, l - часть интервала начисления.

При непрерывном начислении процентов наращенная сумма рассчитывается по формуле

S = P : (1 - f/m)

Из полученных формул путем небольших преобразований получим формулы для вычисления первоначальной суммы, срока начисления и величины учетной ставки:

P = S(1 - d ) . n = (lnP/S) / ln(1-d ). n = (lnP/S) / m ln(1-f/m).

d = 1 - . f = m(1 - ).

В случаях, когда существует возможность выбора условий финансовой операции и требуется инструмент для корректного сравнения различных процентных ставок, пользуются эквивалентными процентными ставками.

Эквивалентность процентных ставок различного типа.

Эквивалентные процентные ставки - это такие процентные ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты.

Для их нахождения используются уравнения эквивалентности, принцип составления которых заключается в следующем. Выбирается величина, которую можно рассчитать при помощи различных процентных ставок (обычно это величина наращенной суммы S). На основе равенства двух выражений для данной величины и составляется уравнение эквивалентности, из которого путем соответствующих преобразований получается соотношение, выражающее зависимость между процентными ставками различного вида. Вспомним обозначения, использованные ранее

i -простая годовая ставка ссудного процента,

d - простая годовая учетная ставка,

i - сложная годовая ставка ссудного процента,

d - сложная годовая учетная ставка,

j - номинальная ставка ссудного процента

f - номинальная учетная ставка

Запишем также известные нам формулы для определения наращенной суммы при различных способах начисления процентов:

S = P (1 + n i) (1)

S = P/(1 - n d) (2)

S = P (1 + i ) (3)

S = P (1 + j/m) (4)

S = P/(1 - d ) (5)

S = P/(1 - f/m) (6)

П риравнивая эти формулы попарно, можно получить соотношения, выражающие зависимость между любыми двумя различными процентными ставками. Например, приравнивая (1) и (2), получим

1 + n i = 1/(1-n d), откуда

i = d/(1-n d),

d = i/(1 + n i).

Из формул (1) и (3) получаем

1 + n i = (1 + i ) ,

i = ((1 + i ) -1) / n,

i = - 1.

Из формул (1) и (4) получим

1 + n i = (1 + j/m) ,

i = ((1 + j/m) - 1) / n,

j = m( - 1).

Аналогично можно получить зависимости между любыми другими эквивалентными процентными ставками. Для различных случаев сложных процентов получаем уравнение эквивалентности, приравнивая (3) и (4):

( 1 + i ) =(1 + j/m) , откуда i = (1 + j/m) -1, j = m( - 1).

В данном выражении i - годовая ставка сложного процента, эквивалентная номинальной процентной ставке, называется эффективной ставкой сложных процентов. Она помогает оценить реальную доходность финансовой операции. При m=1 очевидно, что i = j.

Далее, приравнивая (3) и (5), получим

( 1 + i ) = 1/(1 - d ) , откуда i = d/(1-d), d = i /(1 + d).