Простые учетные ставки

При антисипативном способе начисления процентов сумма получаемого дохода рассчитывается из суммы, получаемой по прошествии интервала начисления (т.е. из наращенной суммы). Эта наращенная сумма и считается величиной получаемой ссуды. Т.к. в данном случае %% начисляются в начале каждого интервала начисления, заемщик, естественно, получает сумму кредита за вычетом процентов. Такая операция называется дисконтированием по учетной ставке, а также коммерческим или банковским учетом.

Дисконт - это доход, полученный по учетной ставке, т.е. разница между размером кредита и непосредственно выдаваемой суммой.

Пусть теперь

d(%) - простая годовая учетная ставка,

d - относительная величина учетной ставки,

D - сумма процентов, выплаченных за год,

D - общая сумма процентов,

S - сумма, которая должна быть возвращена,

P - сумма, получаемая заемщиком,

Тогда, согласно определениям, получаем следующие формулы:

d = d(%) / 100% = D / S (2.1)

D = d S (2.2)

D = n D = n d S (2.3)

P = S - D = S(1 - n d) = S (1 - (д/K) d) (2.4)

Из формулы (2.4) следует формула для определения наращенной суммы

S = P / (1 - n d) = P /(1 - (д/K) d) (2.5)

Из формулы (5) видно, что, в отличие от случая простых ставок ссудного процента, простые учетные ставки не могут принимать любые значения. Для того, чтобы формула (5) имела смысл, необходимо, чтобы знаменатель дроби был больше 0, т.е. выражение (1 - nd) больше 0, или d меньше 1/n. На практике, правда, иная ситуация и не представляется возможной.

Учетные ставки применяются в основном при учете (покупке) векселей и других денежных обязательств. Из выведенных формул можно вывести формулу для определения периода начисления и учетной ставки при прочих заданных условиях

n = (S - P) / S d (2.6)

d = (S - P) / S n = ((S - P) / S d) K (2.7)

Сложные ставки ссудных процентов

Если после очередного интервала начисления доход, т.е. начисленные за данный интервал времени процентов не выплачиваются, а присоединяются к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала, для определения наращенной суммы применяют формулы сложных процентов. Сложные ссудные процентов в настоящее время очень распространены в различных финансовых операциях.

Введем обозначения. Пусть

i - относительная величина годовой ставки сложных ссудных процентов,

k - коэффициент наращения в случае сложных процентов,

j - номинальная ставка сложных ссудных процентов,

Е сли за интервал начисления принимается год, то по прошествии первого года наращенная сумма в соответствии с формулой (1.7) составит

S = P (1 + i ),

еще через год это выражение применяется уже к сумме S

S = S (1+i ) = P (1 + i )

и так далее. По прошествии n лет наращенная сумма составит

S = P (1 + i ) (3.1)

коэффициент наращения соответственно будет равен

k = (1 +i ) (3.2)

При начислении простых процентов он составил, как мы видели ранее

k = (1 + n i)

Сравнивая два последних выражения можно видеть, что чем больше период начисления, тем больше разница в величине наращенной суммы при начислении простых и сложных процентов. Поэтому инвестиции на условиях сложного процента более выгоды, чем на условиях простого процента при условии равенства номинальных доходностей в годовом исчислении. Как правило, когда возникает возможность выбора между низкой сложной процентной ставкой и более высокой простой следует отдавать предпочтение первому варианту. Естественно, если в распоряжении есть достаточно длительный период времени. Сумма, наращенная по сложной процентной ставке, уже через небольшое (в зависимости от разницы в величине процентных ставок) количество интервалов начисления превысит сумму, наращенную по простой ставке. Использование в расчетах сложного процента более логично, поскольку в этом случае капитал, генерирующий доходы, постоянно возрастает. Считается что по мере получения любых денежных поступлений, в силу требования рациональности, последние должны наращиваться либо в ходе данного инвестиционного проекта, либо в других инвестиционных проектах.

Применение принципа простого процента, кроме того, стимулирует к изъятию начисленных процентов в пользу текущего потребления, текущей хозяйственной деятельности или другого инвестиционного процесса.

Если срок ссуды n в годах не является целым числом, множитель наращения определяют следующим образом

k = (1+i ) (1 + n i ), где

n = n + n , n - целое число лет, n , - оставшаяся дробная часть года.

Допустим, начисление сложных процентов осуществляется не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка процентов j - годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления.

Если в году m равных интервалов, а номинальная ставка процентов j, то на каждом интервале применяется процентов ставка, равная j / m.

Если срок ссуды составляет n лет, то по формуле (3.1), получим выражение для определения наращенной суммы

S = P(1 + j/m) , (3.6)

где mn - общее число интервалов начисления за весь срок ссуды.

Если общее число интервалов начисления не является целым числом (mn - целое число интервалов начисления, l -часть интервалов начисления), то выражение (3.6) принимает вид

S = P(1 + j/m) (1 + l j /m).

В России в настоящее время наиболее распространены начисление процентов по полугодиям, поквартальное и ежемесячное. Такие проценты, начисляемые с определенной периодичностью, называются дискретные.

В мировой практике часто применяется непрерывное начисление сложных процентов, т.е. продолжительность интервала начисления стремится к нулю, а число интервалов m -к бесконечности.

В этом случае для вычисления наращенной суммы служит следующее выражение

S = P (1 + j/m) (3,8)

Для расчетов в этом случае можно использовать известную в математике формулу второго замечательного предела:

(1 + 1/m) = e, где е = 2,71828....

из этой формулы следует (1 + j/m) = е .

Тогда для наращенной суммы получаем

S = P e (3.9)

Здесь k = e (3.10)

Значение наращенной суммы тогда можно вычислять, находя значения экспоненты в той или иной степени в спец. таблицах.

Очевидно, что непрерывным способ начисления процентов дает максимальную величину наращенной суммы при прочих равных условиях.

Из формулы (3.1) получаем

P = S : (1+i ) = S a. (3.11)

Если вспомнить, что, как и в случае простых процентов, определение настоящей величины суммы S называется дисконтированием, то коэффициент а назовем коэффициентом дисконтирования. Эта величина обратна коэффициенту наращения, т.е.

k а = 1.

Формула (3.11) дает понять, что текущий финансовый эквивалент будущей денежной суммы тем ниже, чем отдаленнее срок ее получения и чем выше норма доходности.

Найдем выражения для величин i, j, n.

И з формулы (3.1) получаем i = - 1.

Из формулы (3.6): j = m( - 1).

Преобразуем формулу (3.1): S/P = (1+i ) .

Прологарифмируем обе части равенства:

ln S/P = ln (1+i ) = n ln (1 + i ).

Тогда n = (ln S/P) / ln(1 + i ).

Аналогично из формулы (3.6) получим

n = (ln S/P) / m ln(1 + i ).