9.Анализ цепи на эвм.
Анализ цепи необходимо провести, используя различные прикладные программы: MathCad [2], Electronic WorkBench [3], MATLAB [4,7]. Целью этого раздела является ознакомление с методами прибли-женного определения реакций цепи и составления полученных результатов с аналитическими расчетами, полученными в предыдущих разделах.
Для проведения анализа в среде MathCad необходимо определить матрицы уравнений состояний. Для этого разработана программа MPS, алгоритм работы программы изложен в [1]. Работа с программой осуществляется в диалоговом режиме. Рассмотрим её работу на примере схемы рис.2. Зададимся параметрами этой цепи: R1=2Ом, R2=1Ом, С1=1Ф, С2=2Ф, L=1Гн, u=1В.
Перед работой с ЭВМ необходимо пронумеровать узлы схемы. Каждый элемент задания параметрам, узлом входа и выхода.
Пример диалога:
Количество элементов R?
2 < >
Параметры и узлы входа и выхода первого элемента R.
2 1 2 < >
Параметры и узлы входа и выхода второго элемента R.
1 3 4 < >
Количество элементов С?
2 < >
Параметры и узлы входа и выхода первого элемента С.
1 2 4 < >
Параметры и узлы входа и выхода второго элемента C.
2 3 4 < >
Количество элементов L?
1 < >
Параметры и узлы входа и выхода первого элемента L.
1 2 3 < >
Количество элементов I?
0 < >
17
Количество элементов U?
1 < >
Параметры и узлы входа и выхода первого элемента U.
1 4 1 < >
Матрица А.
-0.50 0.00 1.00
0.00 -0.50 0.50
1.00 -1.00 1.00
Матрица В.
0.50
0.00
0.00
Выходные уравнения для токов через резисторы R1 и R2.
Матрица С.
-1.00 0.00 0.00
0.00 1.00 0.00
Для реакции y=iR2 в матрицах C и D выбирают последние строки.
Имея описание цепи, с помощью уравнений состояний, легко осуществить численный расчет реакции схемы на различные воздействия, так что численное решение уравнений состояния сводилось к их численному интегрированию.
Рассмотрим уравнение (7). Чтобы перейти к численной схеме его решения, в простейшем случае можно воспользоваться методом Эйлера.
где h - шаг по времени, принимаемый постоянным.
Тогда уравнение (7) примет вид:
или интеграционная процедура
xk=xk-1+h(Axk-1+Buk) (12)
Очевидно, что выражение (12) необходимо дополнить начальными условиями:
x0=0;
t0=0.
18
Выражение (12) можно использовать как базовое для численного решения уравнений, описывающих цепь. Наиболее просто составить программу для решения дифференциальных уравнений, используя систему MathCad.
Для задания входного воздействия необходимо использовать функцию системы MathCad δ1(t) – Хевисайда. Для получения функции δ(t) используют приближенное выражение
δ(t)=100(δ1(t)+δ1(t-0.01)),
что соответствует узкому прямоугольному импульсу единичной площади.
Отметим, что при D, не равном нулю, невозможно получить точное значение импульсной характеристики вследствие наличия в ней слагаемого D•δ(t).
При D=0 рекомендуется учитывать эту матрицу в конце расчета.
Образец программы с пояснениями представлен в приложении № 1
Расчет спектральных характеристик и сигналов в системе MathCad осуществляется с помощью интегрирования функций комплексной переменной.
Зададим интеграл Фурье в виде
TOL=0.01
где inf=τ – длительность сигнала, TOL – точность интегрирования, задаваемая от площади сигнала, f(t) – представление сигнала в программе.
Так для прямоугольного сигнала
f(t)=A(δ1(t)-δ1(t-τ)),
Пример выполнения программы представлен в приложении №2
В программе реализован контроль правильности полученных результатов с помощью обратного преобразования Фурье
где ωгр. – верхняя граница амплитудного спектра.
Расчет частотных характеристик цепи можно произвести в системе MathCad, используя
,
19
где H(s)=C(Is-A)-1*B+D.
Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики будут
A(ω)=|H(jω)|;
Φ(ω)=arg H(jω).
Целесообразно сопоставить полученные результаты с результатами моделирования в системе Electronic WorkBench [3] с применением Боде-плоттера.