5.3.2. Свойства численных методов решения задачи Коши

Устойчивость. Рассмотрим полученное ранее основное уравнение (5.4):

у_i+1– у_i  Ф(х_i , h, y_i+1–k,…, y_i , y_i+1).

Здесь у_i+1 и у_i – точные значения решения задачи Коши в точках х_i+1 и х_i, соответственно. Если вместо точного решения рассматривать приближённые значения и , полученные численным методом, имеющим шаг h по х, то приближённое равенство (5.4) превратится в точное:

. (5.10)

Для того, чтобы начать вычисления по формуле (5.10) надо задать k начальных точек: y₀, y₁ ,…, y_k–1. Эти точки могут быть заданы с погрешностями ₀, ₁ ,…, _k–1. Кроме того, погрешность может быть допущена при вычислении правой части уравнения (5.10). Обозначим эту погрешность в точке х_i как h_i. Рассмотрим наряду с (5.10) также возмущённое аппроксимирующее уравнение:

+ h_i, (5.11)

которое получается, если в правую часть (5.10) и в начальные условия добавить указанные произвольные малые возмущения h_i и , , …, .

Будем называть численный метод, порождённый аппроксимирующим уравнением (5.10) устойчивым на конечном отрезке [x₀, x_N], если существует шаг h₀, что для любого h  h₀, максимальное значение разницы между решением точной и возмущённой задачи будут сколь угодно малыми при достаточно малых возмущениях.

Точность аппроксимации. Рассмотрим ещё раз уравнение (5.4). Обозначим

– (5.12)

погрешность приближённого равенства (5.4). Эта погрешность вызвана применением аппроксимирующей функции Ф к интегралу (5.3). Говорят, что алгебраическое уравнение (5.4) аппроксимирует интегральное уравнение (5.3) (или, что то же самое – дифференциальное уравнение (5.2)), если при h  0, и аппроксимирует его с m-м порядком точности, если при этом справедлива оценка , где С – некоторая константа.

Пример 5.5. Покажем, что явный метод Эйлера имеет 1-й порядок точности аппроксимации. Действительно, явный метод Эйлера основан на формуле левых прямоугольников, которая имеет вид

.

(В теме 4 было задание получить эту оценку). Отсюда, полагая g(x) = f(x,y(x)) и найдя как производную сложной функции, получим

у_i+1– у_i = h f(x_i,у_i ) + .

Обозначим выражение в квадратных скобках R(_i). Тогда

h _i = R(_i)  _i = R(_i) .

Т.е.  = C h¹ и m = 1.

Сходимость. Пусть y(x) – точное решение задачи Коши, а – численное решение. Обозначим E(h) = – мера погрешности численного решения.

Численный метод называется сходящимся, если E(h)  0 при h  0. Говорят, что метод сходится с m-м порядком точности, если E(h)  K h^m, К – некоторая константа.

Иными словами, при уменьшении шага h в s раз погрешность уменьшается примерно в s^m раз. (Примерно, т.к. в формуле оценки не стоит знак равенства).

Теорема 5.2 (основная теорема численного решения ОДУ). Если численный метод устойчив, то из наличия аппроксимации с порядком точности m следует его сходимость с тем же порядком.

Например, явный метод Эйлера, в силу результата примера 5.5 и теоремы 5.2, имеет 1-й порядок точности. Это очень плохая точность и для получения приемлемого решения надо выбирать очень маленький шаг. А при малом шаге надо вычислять много точек, при этом могут накапливаться большие погрешности. В общем, метод 1-го порядка точности для практического использования не пригоден. В настоящее время наиболее популярны методы 4 – 5 порядков. При m > 5 ухудшается обусловленность, т.к. приходится применять интерполяционные многочлены высокой степени. В следующих разделах рассмотрим методы 4-го порядка подробнее.

5.4. k-шаговые методы Адамса