Результаты расчетов примера 5.3

tg(x) – аналитич. Явный Неявный Модифицир.

решение метод метод метод

Графики полученных решений приведены на рис. 5.1. Видно, что наибольшая точность достигнута посредством модифицированного метода Эйлера.

Рис. 5.1. Варианты метода Эйлера решения примера 5.3.

– явный метод – неявный метод

– модифицированный метод

– точное решение

5.3. Точность и устойчивость

5.3.1. Свойства задачи Коши

Прежде чем выбрать метод решения какой-либо вычислительной задачи, необходимо исследовать свойства этой задачи, т.к. в неустойчивых задачах наличие даже малых погрешностей вносит большое искажение в решение и даже самый лучший численный метод не может исправить положение. В задаче Коши исследованию подлежат два типа устойчивости: по начальному условию и по правой части.

Устойчивость по начальному условию. Пусть у₀ – некое начальное условие задачи (5.2), а = у₀ – ₀ – возмущённое начальное условие, т.е. заданное с погрешностью ₀. Определим, приведёт ли эта погрешность в начальных условиях к накоплению ошибки в решении.

Пусть

– (5.8)

возмущённая задача Коши, т.е. с погрешностью в начальном условии. Вычтем из уравнения (5.2) уравнение (5.8):

= f(x, y) – f(x, y*).

Воспользуемся формулой конечных приращений Лагранжа, которая для произвольной функции g(x) и произвольных значений аргумента x = a и x = b имеет вид: , где с(a, b) – некоторая точка, наклон касательной в которой равен наклону секущей, проходящей через точки a и b (см. рисунок).

Применим формулу Лагранжа к функции f(x, y), полагая a = y(x), b = y*(x), c = (y(x), y*(x)):

f(x, y(x)) – f(x, y*(x)) = [y(x) – y*(x)].

Отсюда имеем дифференциальное уравнение относительно :



с начальным условием (x₀) = y₀ – = ₀. Полученное уравнение является линейным однородным, его решение имеет вид:

(x) = ₀exp = ₀C(x).

Здесь C(x) – коэффициент роста ошибки с увеличением х. Если > 0, то показатель экспоненты также положителен и С(х) возрастает. Вместе с ним растёт и погрешность решения. При < 0 получим, что С(х) убывает, а погрешность решения затухает. Если меняет знак, то проанализировать рост ошибки сложно.

Пример 5.4. Пусть имеем задачу Коши

.

f(x, y) = y² +1, следовательно = 2у. При у > 0 будет > 0 и погрешность возрастает, а при у < 0 будет < 0 и погрешность убывает. Проверим это. Точное решение этой задачи у = tg[(x – x₀) + arctg(y₀)]. Рассмотрим два случая.

1. x₀ = 0, x[0; 1.3]. Пусть у₀ = 0, ₀ = –0.1, т.е. = 0.1. Тогда y(x) = tg(x), y*(x) = tg(x+0.099669). y 0. Графики обеих кривых – на рисунке. Видно, что линии расходятся, т.е. погрешность возрастает.

– точное решение

– возмущённое решение

2. x₀ = –1.3, x[–1.3; 0]. Пусть у₀ = tg(–1.3) = –3.602102, а ₀ = –0.7, т.е. = tg(–1.3)+0.7 = – 2.9021. Тогда y(x) = tg(x), y*(x) = tg(x+1.3+arctg(– 2.9021)) = tg(x+0.061). y < 0. Графики обеих кривых – на рисунке. Видно, что линии сходятся, т.е. погрешность убывает.

– точное решение

– возмущённое решение

В обоих случаях если область [x₀, x_N] решения дифференциального уравнения конечна, то при достаточно малом ₀ можно ожидать, что С(х) не возрастёт слишком сильно, т.е. погрешность решения не будет очень большой.

Устойчивость по правой части. Пусть правая часть f(x, y) уравнения (5.2) при произвольном х вычисляется с погрешностью (х), т.е. имеем следующую возмущённую задачу:

(5.9)

Поведение решения задачи (5.9) определяется следующей теоремой:

Теорема 5.1 (об устойчивости по правой части). Если функция f(x, y) удовлетворяет условию Липшица:

 L > 0 : y₁, y₂ ,  x | f(x, y₁) – f(x, y₂) |  L| y₁ – y₂ |,

то для решения y(x) задачи (5.2) и решения y*(x) задачи (5.9) справедлива оценка:

.

Это означает, что если отрезок [x₀, x_N] конечен, то при достаточно малой величине и | (x) | разницу | y(x) – y*(x) | можно также сделать малой, т.е. решение устойчиво. Значения и | (x) | представляют собой погрешности исходных данных, а | y(x) – y*(x) | – погрешность решения. Следовательно, величина является оценкой числа обусловленности задачи Коши.