4.9. Метод дробления шага. Правило Рунге

Формулы (4.12) и (4.14) для практики неудобны, т.к. значения f^(k) () обычно неизвестны. Правило Рунге позволяет найти достаточно точные оценки погрешности, используя значения I*, вычисленные при различных h.

Согласно полученным оценкам, погрешность составных формул численного интегрирования имеет вид

I – I^h  Ch^m, (4.15)

где I и I^h – точное значение интеграла и значение, найденное по составной формуле при шаге h, соответственно; С – некоторая константа; m – порядок точности численного метода (согласно формулам (4.12) и (4.14), m = 2 для формулы трапеции и m = 4 для формулы Симпсона).

Уменьшим шаг вдвое. Будем иметь:

I – I^h/2  2^–mCh^m. (4.16)

Вычтем (4.16) из (4.15). Получим: I^h/2 – I^h  2^–mCh^m(2^m – 1) = (I – I^h/2)(2^m – 1).

Следовательно,

. (4.17)

Формула (4.17) – оценка погрешности вычисления I^h/2 по правилу Рунге. Если значение правой части приближенного равенства (4.17) окажется меньше предельно допустимой погрешности , то можно считать I^h/2 ответом задачи. В противном случае – требуемая точность не достигнута и необходимо использовать более мелкий шаг, т.е. продолжить процесс дробления шага.

Замечание. При приближённом вычислении интегралов, абсолютная величина | I | которых мала, использование значения абсолютной погрешности  для контроля точности необоснованно, более приемлема относительная погрешность . Поэтому при использовании правила Рунге рекомендуется следующий критерий останова процесса дробления шага:

если | I^h/2 |  1, то заканчивать при ,

если | I^h/2 | < 1, то заканчивать при .

Пример использования правила Рунге см. «Вычислительная практика» Пример 4.4. Там же в разделе 5 приведены тестовые примеры для программ численного интегрирования.

Задание. Обобщите правило Рунге на случай, когда шаг h на каждой итерации уменьшается не в 2, а в s раз.

4.10. Обусловленность квадратурных формул

Квадратурная формула – это равенство вида I* = , где – некоторые точки на [a, b] (узлы квадратурной формулы); A_i – коэффициенты квадратурной формулы.

Квадратурная формула – обобщающее название для класса формул численного интегрирования, в которых используются только значения подынтегральной функции (существуют также формулы, использующие производные подынтегральной функции).

Пример квадратурной формулы – составная формула трапеций:

I* = h .

В ней A₀ = A_n = h/2, A₁ =…= A_n–1 = h. Составная формула Симпсона также является квадратурной.

Известно (см. пример 1.8 в «Вычислительной практике»), что задача аналитического вычисления определённого интеграла хорошо обусловлена и _ = b – a. Проанализируем теперь задачу численного интегрирования, использующую квадратурную формулу.

Пусть вместо точных значений f(x) подынтегральной функции имеем приближённые значения f*(x) и x[a, b]  (f*) ((f*) – оценка погрешности). Тогда

(I**) = | I* – I** | = .

Здесь I* – результат вычислений по квадратурной формуле без погрешности, I** – результат вычислений с погрешностью. Следовательно _ = .

Т.к. все квадратурные формулы абсолютно точны для многочленов 0-й степени, то b – a = = 1. Значит = b – a. Отсюда следует, что если в квадратурной формуле все A_i > 0, то _ = b – a как и для аналитической задачи, а если среди A_i есть отрицательные, то _ > b – a.

Задание. Проверить непосредственно, что для составной формулы трапеций = b – a.