4.8. Составные формулы численного интегрирования

Описанные формулы численного интегрирования легко обобщить на случай применения многочленов более высоких степеней и тем самым добиться улучшения точности решения задачи (подобный метод широко применяют, при этом, в частности, получаются так называемые квадратурные формулы Ньютона-Котеса). Однако, более перспективен другой способ, основанный на кусочной аппроксимации подынтегральной функции многочленами невысокой степени.

4.8.1. Кусочно-гладкая аппроксимация функций. Пусть функция интерполируется на отрезке [a, b]. Метод решения этой задачи с помощью единого для всего отрезка многочлена Р_n(х) называют глобальной многочленной интерполяцией. При всей привлекательности перспективы иметь такой единый многочлен, существуют весьма веские причины, по которым глобальная интерполяция многочленами высокой степени в вычислительной практике, как правило, не используется.

1. Одна из основных причин этого заключается в проблеме сходимости аппроксимации при росте n. Рассмотрим пример.

Пример 4.4. Непрерывную функцию у = | x | надо приблизить на отрезке [–1, 1] с высокой точностью. На рис. 4.5 и 4.6. приведены графики интерполяционных многочленов 5 и 13 степеней, соответственно. Видно, что при сравнительно невысокой степени n = 5 велика погрешность аппроксимации в точке х = 0. При более высоких степенях, начиная с n = 9, появляются “паразитические” всплески вблизи точек х = ±1, нарастающие при увеличении n. В результате высокая точность, порядка e = 0.001, оказывается недостижимой.

В известной степени точность глобальной многочленной интерполяции можно повысить за счет оптимального расположения узлов, однако полностью этим проблема не снимется.

Рис. 4.5. Интерполяция функции у = | x | многочленом 5-й степени

2. Вторая проблема заключается в ухудшении обусловленности задачи интерполяции при росте n, и соответственно, в повышении чувствительности к погрешности округления.

В значительной мере проблемы глобальной аппроксимации могут быть сняты применением кусочно-гладкой, в частности – кусочно-полиномиальной интерполяции. Суть подхода заключается в следующем. Исходный отрезок [a, b] разбивается на несколько отрезков меньшей длины, на каждом из которых функция приближается своей гладкой кривой, например, многочленом. Низкая степень многочленов гарантирует отсутствие нежелательных эффектов, подобных рассмотренным в примере 4.4, а малая величина каждого отрезка способствует увеличению точности аппроксимации. Так, в примере 4.4 исходную функцию можно абсолютно точно приблизить двумя многочленами 1-й степени на отрезках [–1, 0] и [0, 1], соответственно.

Рис. 4.6. Интерполяция функции у = | x | многочленом 13-й степени

Замечание. Подобный подход также имеет недостатки, главным из которых является негладкость интерполяционных кривых в точках “стыковки” отдельных многочленов. Данный недостаток может быть преодолен использованием так называемой сплайн-аппроксимации, при которой параметры многочленов подбираются из условия гладкости сочленения (совпадения первых производных) отдельных звеньев (сплайнов) в точках “склеивания”. Подобная интерполяция используется при решении многих задач, в частности, в компьютерной графике и машиностроении при построении линий сложной формы. На рис. 4.7 приведены графики различных видов интерполяции.

Рис. 4.7. Интерполяция табличной функции

··· – узлы исходной функции;

– глобальная многочленная интерполяция;

– кусочно-гладкая параболическая интерполяция

– сплайновая интерполяция (х = 2 – точка склеивания)

Для нужд численного интегрирования негладкость кусочной аппроксимации, вообще говоря, помехой не является, поэтому методы аппроксимации сплайнами подробно нами рассматриваться не будут.

Идея кусочно-гладкой аппроксимации в интегрировании: разбить отрезок [a, b] на n частей и на каждой части применить формулу трапеций или Симпсона. Из формул (4.8) и (4.10) видно, что при h < 1 погрешность этих формул уменьшается.

4.8.2. Составная формула трапеций. Разобьём отрезок [a, b] на n частей равноотстоящими точками x₀ = a, x₁ = a + h, …, x_n = b, и на каждой части [x_i, x_i+1] применим формулу трапеций:

 ( y_i + y_i+1).

Получим

 [( y₀ + y₁) + ( y₁ + y₂) + … + ( y_n–1 + y_n)] 

 h – (4.11)

составная формула трапеций. Её геометрический смысл – подынтегральная функция заменяется ломанной.

4.8.3. Оценка погрешности. Очевидно, погрешность формулы (4.11) равна сумме погрешностей на каждом i-м интервале. Воспользуемся формулой (4.8), получим = – , где _i[x_i, x_i+1].

Обозначим  = – среднее арифметическое значений второй производной, а также m = , M = . По известному свойству среднего арифметического имеем: m   M.

Из математического анализа известна 2-я теорема Больцано-Коши: если функция y(x) непрерывна на отрезке, то она принимает все свои значения, от минимального до максимального. Иными словами, для любого р, такого что min y(x)  p  max y(x), уравнение p = y(x) всегда имеет решение при непрерывной функции у(х). Для разрывной функции это, вообще говоря, неверно (см. рис. 4.8).

Рис. 4.8. Иллюстрация ко 2-й теореме Больцано-Коши:

непрерывная и разрывная функции.

Если f’’() непрерывна на [a, b], то к ней применима указанная теорема при р = . Значит, существует такая точка [a, b], что  = f’’(). Следовательно,

= n = nf ’’(). Тогда

= – = – .

Следовательно,

= – . (4.12)

4.8.3. Составная формула Симпсона. Разобьём отрезок [a, b] на n частей, где n – чётно. Применим формулу Симпсона к каждому двойному отрезку [x_2i–2, x_2i]. Тогда

 [(y₀ + 4y₁ + y₂) + (y₂ + 4y₃ + y₄) + … + (y_n–2 + 4y_n–1 + y_n)].

Заметим, что y₂, y₄,… y_n–2 повторяются дважды. Отсюда

 [( y₀ + y_n) + 4S_нечётн + 2S_чётн ] (4.13)

составная формула Симпсона.

Здесь S_нечётн = y₁ + y₃ + … + y_n–1, S_чётн = y₂ + y₄ + … + y_n–2.

4.8.4. Оценка погрешности. Для оценки погрешности формулы (4.13) воспользуемся оценкой (4.10) погрешности простой формулы. Применим тот же метод, что и для составной формулы трапеции. Получим

= – . (4.14)

Задание. Вывести формулу (4.14) самостоятельно.