4.5. Задача численного интегрирования

В прикладных исследованиях часто возникает необходимость вычисления значения определенного интеграла

,

К сожалению, в подавляющем большинстве случаев получить значение интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница или других аналитических методов не удается. Так, интеграл широко используется при исследовании процессов массо- и теплообмена, в статистической физике и теории вероятностей. Однако его значение не может быть выражено в виде конечной комбинации элементарных функций.

При разработке численных методов нахождения значения определенных интегралов наиболее распространенным подходом является аппроксимация. Подынтегральную функцию f(x) на отрезке [a, b] приближают некоторой функцией F(x), которая легко интегрируется аналитически. Затем полагают

.

Если функция f(x) задана аналитически, то ставится вопрос об оценке погрешности такой замены.

4.6. Формула трапеций

4.6.1. Вывод формулы. Пусть функция f(x) интерполируется на [a, b] многочленом 1-й степени: F(x) = P₁ (x) = y₀ + (х – x₀) ₁[x₀, x₁], где x₀ = a, x₁= b. Обозначим h = x₁–x₀. Или Тогда

I*= .

Сделаем замену переменных t = x – x₀, получим

I*= = =

После интегрирования и преобразования получим следующую формулу:

 [f(a) + f(b)] = [f(x₀) + f(x₁)] = I*, (4.7)

называемой формулой трапеций. Геометрически она означает замену площади криволинейной трапеции обычной трапецией (рис. 4.2), отсюда название формулы.

Рис. 4.2. Геометрическая интерпретация формулы трапеций

4.6.2. Погрешность формулы. Воспользуемся известной оценкой (3.9) погрешности интерполирования многочленом P₁(x):

R₁(z) = .

Имеем: R₁ = f(x) – F(x)   = I – I* = = =

= = .

Здесь мы опять сделали замену переменных t = x – x₀. Тогда x = t + x₀, а x – x₁ = t + (x₀ – x₁) = t – (x₁ – x₀) = t – h. Отсюда

= = – f’’() .

Итак,

_ТРАП = – f’’() , (a, b). (4.8)

Знак “–” означает, что при f’’ > 0 формула (4.7) дает значение интеграла с избытком, а при f’’ < 0 – с недостатком. На рис. 4.2 функция f(x) вогнута, т.е. f’’ < 0, следовательно, I* < I. При f’’ = 0, т.е. если f(x) = P₁(x), формула (4.7) не содержит погрешности и абсолютно точна.

4.7. Формула Симпсона

4.7.1. Вывод формулы. Пусть функция f(x) интерполируется на [a, b] многочленом 2-й степени:

F(x) = P₁ (x) = y₀ + (х – x₀) ( ₁[x₀, x₁] + (х – x₁) ₂[x₀, x₁, x₂] ),

где x₀ = a, x₁ = (a + b)/2, x₂ = b, h = x_i+1 – x_i. Преобразуем формулу, используя явное выражение для ₁[x₀, x₁] = и ₂[x₀, x₁, x₂] = :

P₁ (x) = y₀ + (х – x₀) + (х – x₀)(х – x₁).

Сделаем замену переменных t = x – x₀. Тогда x = t + x₀, а x – x₁ = t – h. После интегрирования и преобразования получим следующую формулу:

 [ f (x₀) + 4f (x₁) + f (x₂) ] = I*, (4.9)

называемой формулой Симпсона. Ее геометрический смысл представлен на рис. 4.3.

4.7.2. Оценка погрешности формулы Симпсона.

Метод вывода оценки погрешности, применённый для формулы трапеции, не годится для формулы Симпсона. Поэтому без доказательства примем следующую оценку погрешности формулы (4.9):

_СИМП = I – I* = , [ x₀ , x₂]. (4.10)

Знак “–” означает, что при f ⁽⁴⁾ > 0 формула (4.4) дает значение интеграла с избытком, а при f ⁽⁴⁾ < 0 – с недостатком. На рис. 4.4 функция f(x) представляет собой многочлен 4-й степени с постоянным значением f ⁽⁴⁾ < 0. Из рисунка видно, что площадь фигуры под графиком f(x) (окрашенная область) больше, чем под F(x). Следовательно, I* < I. При f ⁽⁴⁾ = 0, т.е. если f(x) = P₃(x), формула (4.9) не содержит погрешности и абсолютно точна. Это видно на рис. 4.3 – f(x) представляет собой многочлен 3-й степени и площади под f(x) и под F(x) абсолютно одинаков, хотя сами функции не совпадают.

Рис. 4.3. Геометрическая интерпретация формулы Симпсона

Рис. 4.4. При f ⁽⁴⁾ < 0 формула Симпсона дет результат с недостатком