4.3. Обусловленность численного дифференцирования.

Поскольку при численном дифференцировании вычитаются два близких числа, то данная задача плохо обусловлена.

Пусть | y”’()|  М₃ и абсолютная погрешность вычисления у(х) не превосходит Е. Тогда при использовании формулы (4.2) для вычисления у’(x₁) справедлива оценка

. (4.5)

Величина обусловленности представляет собой коэффициент при Е, следовательно, _ = 1/ h.

Для улучшения обусловленности можно увеличить h, однако при этом увеличивается погрешность аппроксимации. Следовательно, нужно подобрать оптимальное значение h, при котором (y’) = min. Из (4.5) имеем:

= 0.

Отсюда при использовании формулы (4.2) для вычисления у’(x₁) справедливы оценки:

; _{ЧИСЛ.
ДИФФ.} 1.04 . (4.6)

Пример 4.2. Вычислим значение производной функции у(x) = e^x по формуле (4.2) в точке х = 1 при различных значениях h на ЭВМ, вычисляющей с точностью до 6 значащих цифр. Результаты – в таблице 4.1.

Таблица 4.1
Численное дифференцирование у = е^х при различных h
h	0.1	0.05	0.025	0.01	0.005	0.001	0.0001
y’(x)	2.72285	2.7194	2.7186	2.7185	2.719	2.72	2.7
(y’*)	4.5710^–3	1.1210^–3	3.1810^–4	2.1810^–⁴	7.1810^–⁴	1.7210^–3	–0.018

Рис. 4.1. Погрешности численного дифференцирования у = е^х при различных h (логарифмический масштаб)

На рис. 4.1 данные таблицы приведены в графическом виде с использованием логарифмического масштаба по обеим осям (Ох – lg(h), Oy – lg()).

Из рисунка видно, что минимальная погрешность имеет место при h  0.01 (lg h = –2). Вычисления по формулам (4.6) дают близкий результат:

= 0.01033.

Пример 4.3. Вычислить значение первой производной функции у(х) = ln x по формуле (4.2) в точке х = 1.2 с оптимальным выбором шага. Положить Е = 10^–11.

Для вычисления оценки y”’() воспользуемся формулой . Построим таблицу разделенных разностей у(х) при х_i = 1; 1.2; 1.4; 1.6. Получим ₃ = 0.1573. Отсюда

h ^opt = = 3.167722  10 ^{– 4} ; _{ЧИСЛ.
ДИФФ.} 4.335  10 ^–8.

По второй из формул (4.2) получаем

y’(1.2)  =0.833333352. Сравнивая с реальным значением , приходим к выводу, что погрешность численного дифференцирования не превзошла оценочную.

4.4. Формулы для высших и частных производных

Для вычисления второй производной можно воспользоваться полученной ранее формулой Вычислив и подставив x = x₁, получим трёхточечную формулу для у’’(x₁)