Методы 4-го порядка точности. Результаты расчетов примера 5.3

tg(x) – аналитич. Метод Метод Метод

решение Рунге-Кутты Адамса-Башфорта А-Б-М

Рис. 5.2. Сравнение решений примера 5.3. методами 4-го порядка

– Рунге-Кутты – tg(x) – точное решение

– Адамса-Башфорта-Моултона – Адамса-Башфорта

5.6. Правило Рунге-Ромберга

С помощью правила Рунге-Ромберга (правила двойного пересчета, аналогичного правилу Рунге для интегралов) можно подобрать значение h, обеспечивающего достижение заданной точности . Положив у^h – значение искомой функции в текущей точке, вычисленное с шагом h, а y^h/2 – значение, полученное при двукратном использовании тех же формул с шагом h/2, имеем следующее правило: при заданной точности  решение y^h/2 следует признать удовлетворительным, если выполняется условие.

, (5.17)

где значение m соответствует порядку точности метода. Например, для явного метода Эйлера m = 1, для модифицированного и неявного методов Эйлера m = 2 и m = 4 для методов Рунге-Кутты и Адамса. Контрольные значения y^h и y^h/2 следует выбирать при таком х, для которого значение левой части (5.17) максимально.

5.7. Системы дифференциальных уравнений

Как правило, возникающие в приложениях проблемы, приводят к необходимости решать задачу Коши не для одного дифференциального уравнения, а для систем дифференциальных уравнений вида

(5.18)

Здесь – искомые функции, значения которых подлежат определению при . В момент времени х = х₀ задаются начальные условия

, (5.19)

определяющие начальное состояние физической системы, развитие которой описывается уравнениями (5.18).

Введем следующие две вектор-функции (т.е. значение которых – массив)

,

и вектор (массив) . Тогда задачу Коши (5.18), (5.19) можно записать в компактной форме

,

.

Описанные выше численные методы решения задачи Коши для одного уравнения можно использовать и для систем уравнений первого порядка, причем форма их записи претерпевает минимальные изменения. В расчетных формулах следует лишь заменить числа y_i на векторы (массивы) и все функции – на соответствующие вектор-функции (процедуры). Например, расчетная формула метода Эйлера применительно к решению системы (5.18) принимает вид

.

Покоординатная запись этого соотношения выглядит так:

Аналогично, формулы метода Рунге-Кутты 4-го порядка точности для систем дифференциальных уравнений первого порядка имеют вид:

,

; ;

; .

Решение уравнений высших порядков. Задача Коши для дифференциального уравнения n-го порядка состоит в нахождении функции y(x), удовлетворяющей при x  x₀ дифференциальному уравнению

(5.20)

а при x = x₀ – начальным условиям

(5.21)

Универсальным приемом решения этой задачи является ее сведение с помощью замены к задаче Коши для системы дифференциальных уравнений 1-го порядка

(5.22)

(5.23)

Для решения задачи Коши (5.20), (5.21), приведенной к виду (5.22), (5.23), можно воспользоваться известными методами.