5.4.2. Формулы методов 4-го порядка.

Метод Адамса-Башфорта. Это явный 4-х шаговый метод. При нахождении у_i+1 используются 4 ранее найденные значения правой части f_j = f(x_j, y_j), j = i – 3,…, i.

.

Метод Адамса-Моултона. Это 3-х шаговый неявный метод.

,

Метод Адамса-Башфорта-Моултона. Это 4-х шаговый метод типа “прогноз-коррекция”. При вычислении используется формула метода Адамса-Башфорта. Коррекция производится по формуле 3-х шагового метода Адамса-Моултона

,

,

5.5. Методы Рунге-Кутты

Идея методов. В настоящее время методы Рунге-Кутты считаются самыми популярными, к этой группе относятся многие из уже известных нам методов.

Идея методов состоит в следующем. На отрезке [х_i, х_i+1] выберем k точек х_i = x¹  x² …  x^k  х_i+1 и построим квадратурную формулу

 h ,

где y^j – прогнозируемое значение у(х ^j). Эти прогнозы будем строить по следующему правилу:

у¹ = у_i; у² = у_i + h _{2 1}f (x¹, у¹); у³ = у_i + h [ _{3 1}f (x¹, у¹) + _{3 2} f (x², у²) ]; ….

у^k = у_i + h .

Обозначим х ^j = х_i, + h _j , ₁= 0 , _j  1. Теперь остаётся подобрать числовые параметры p₁,…, p_k, ₂,…, _k, _{2 1},…, _{k k–1} так, чтобы точность квадратурной формулы была максимальна. Т.к. при выводе получаются достаточно громоздкие формулы, то для изучения принципа рассмотрим случай k = 2.

Вывод 2-х точечной формулы. Обозначим х_i = x¹ = х; x² = х +  h = x _. Тогда y_i = y¹ = y; y² = y + h  f (x, y) = y _. Следовательно

y(x+h) – y(x) =  h [p₁ f(x, y) + p₂ f(x _, y _)].

Т.к. данное равенство является приближённым, то имеется остаточный член

R(h) = [y(x+h) – y(x)] – h [p₁ f(x, y) + p₂ f(x _, y _)]. (5.13)

Подберём коэффициенты так, чтобы R(h) при увеличении h возрастал как можно медленнее. Как этого добиться?

Разложим R(h) по формуле Тейлора:

R(h) = R(0) + (5.14)

Известно, что при малом h значение h^m при m >1 возрастает медленнее, чем h, и чем больше m, тем медленнее этот рост. Значит, если в разложении (5.14) первые m производных и R(0) будут равны 0, то R(h) будет расти как h^m+1, и чем больше m, тем медленнее рост. Значит, надо подбирать коэффициенты так, чтобы в (5.14) как можно больше первых членов обратилось в 0. Для вычисления членов разложения воспользуемся формулой (5.13):

0) R(0) = y(x+0) – y(x) – 0 = 0.

1) { h [p₁ f(x, y) + p₂ f(x _, y _)] }.

Воспользуемся формулой производной сложной функции:

; = 0;

{…} = p₁ f(x, y) + p₂ f(x _, y _) + h{0 + p₂ [ + ]}.

В последнем слагаемом мы подставили f(x, y).

Таким образом

– p₁ f(x, y) – p₂ f(x _, y _) – 0 = f(x, y) – p₁ f(x, y) + p₂ f(x _, y _) =

f(x, y)[1 – p₁ – p₂ ].

Здесь в силу исходного дифференциального уравнения = f(x, y).

Полученное выражение должно быть равно 0 тождественно при любых x, y, f(x, y). Это возможно, если

1 – p₁ – p₂ = 0. (5.15)

Данное выражение – первое условие, которому должны удовлетворять искомые коэффициенты.

2) Вычислим и запишем тождество = 0. В результате получим два новых условия:

. (5.16)

3) Вычисляем , и здесь выясняется, что если записать все условия, при которых , то получим число уравнений больше, чем искомых параметров. Поэтому придётся ограничиться условиями (5.15) и (5.16).

Всего получаем три уравнения относительно 4-х неизвестных: p₁, p₂, , . Значит, один параметр, например , можно выбрать произвольно, а остальные выразить через него:

 = ; ; .

Отсюда, выбрав различные значения [0; 1], получим разные варианты двухточечной формулы Рунге-Кутты.

1) Положив  = 1, получим  =  = 1; . Отсюда x² = x + h; y² = y + h f(x, y), а формула будет иметь вид:

у_i+1 = у_i + [ f(x_i, у_i ) + f(x_i+1 , y²) ].

Здесь y² – прогнозируемое по формуле Эйлера значение у_i+1. Полученная формула совпадает с выражением (5.7) метода Эйлера-Коши.

2) При будет ; p₁ = 0; p₂ = 1. Получим формулу:

у_i+1 = у_i + h f .

Это формула так называемого улучшенного метода Эйлера.

Свойства методов Рунге-Кутты.

Теорема 5.5. Пусть существует константа L>0, что для любого x[х₀, х_N] и у  (–, +) выполняется условие | |  L. Тогда всякий k-точечный метод Рунге-Кутты устойчив на конечном отрезке [х₀, х_N]. Если при этом метод имеет m-й порядок аппроксимации, то он сходится с m-м порядком точности.

Для определения порядка аппроксимации каждого конкретного варианта метода надо проанализировать полученное выражение для R(h). Если первые m членов в формуле (5.14) равны 0, то R(h)  h^m+1C. Поскольку между  в формуле (5.12) для погрешности аппроксимации и R(h) выполняется соотношение R(h) = h , то получаем   h^mC. Это означает, что метод Рунге-Кутты будет иметь m-порядок аппроксимации. Например, при выводе 2-точечного метода мы получили = 0, т.е. m = 2. Следовательно, все 2-точечные методы Рунге-Кутты имеют 2-й порядок аппроксимации, и в силу теоремы 5.5 сходятся со вторым порядком точности.

Задания. 1. Объяснить, почему R(h) = h.

2. Является ли метод Рунге-Кутты устойчивым для задачи из примера 5.3?

Метод Рунге-Кутты 4-го порядка точности. Это явный одношаговый метод. При нахождении значения у_i+1 используются 4 дополнительные вычисления правой части f(x, y).

,

где

; ;

; .

Далее приводятся результаты расчетов с помощью перечисленных методов для примера 5.3 на отрезке [0, 1.5] c шагом h = 0.15. Для сравнения указаны точки точного решения у(х) = tg(x). Лучшее совпадение с точным решением получено методом Рунге-Кутты.

На рис. 5.2 приводятся графики решений. Для лучшего разрешения указаны кривые только на отрезке [0.6; 1.5]